пердействітельние числа можна було складати, множити, віднімати і ділити, щоб ці операції володіли звичайними властивостями, званими В«аксіомами поляВ». Сформулюємо їх. p> Серед гіпердействітельних чисел мають бути виділені числа 0 і 1; визначені операції додавання, множення взяття протилежного, а також операція взяття зворотного. При цьому повинні виконуватися такі характеристики:
(1) a + b = b + a (2) a + (b + c) = (a + b) + c (3) a +0 = a (4) a + (-a) = 0 (5) ab = ba
(6) a (bc) = (ab) c (7) a * 1 = a (8) a (b + c) = ab + ac (9) a * (1/a) = 1 при a <> 0.
Безліч з операціями, що володіють цими властивостями, називається полем. Вимоги (1) - (9) можна сформулювати так: * R має бути полем. p> Кромеаріфметіческіх операцій, задамо на гіпердействітельних числах порядок. Для будь-яких двох різних гіпердействітельних чисел має бути визначено яке з них більше. При етоі повинні виконуватися такі характеристики:
(10) якщо a> b, b> c, то a> c
(11) якщо a> b, то a + c> b + c для будь-якого з
(12) якщо a> b, c> 0, то ac> bc
якщо a> b, c <0, то ac
Поле, в якому запроваджено порядок з такими властивостями, називається впорядкованим полем . Вимоги (10) - (12) можна сформулювати так: * R має бути впорядкованим полем.
Ми хочемо, щоб серед гіпердействіетльних чисел були всі дійсні. При цьому операції і порядок на R і на * R повинні бути соглсовани. Це вимогу можна сформулювати так: упорядковане поле * R має бути розширенням упорядкованого поля R.
Що ж нового ми очікуємо від * R? Нескінченно малих. p> Визначення. Елемент e> = 0 упорядкованого поля називається нескінченно малим, якщо e <1, e + e <1. e + e + e <1 і т.д. Негативне e називається нескінченно малим, якщо-e нескінченно мало.
Існування ненульових нескінченно Малх рівносильно порушення аксіоми Архімеда для гіпердействітельних чисел. Впорядковані поля, в яких справедлива аксіома Архімеда і немає нескінченно малих, називають архимедова впорядкованими. Ті поля, в яких аксіома Архімеда невернаі є нескінченно малі, називають неархимедовой впорядкованими (Неархимедовой). p> У цих термінах треюованія можна сформулювати так: система гіпердействітельних чисел повинна бути неархимедовой впорядкованим полем, що є розширенням упорядкованого поля дійсних чисел.
4. ГІПЕРДЕЙСТВІТЕЛЬНАЯ ПРЯМА
Припустимо, що неархимедовой розширення упорядкованого поля дійсних чисел існує. Досліджуємо його властивості. p> Нехай * R - Неархимедовой розширення R. Його елементи називаються гіпердействітельнимі числами. Серед них містяться і все дійсні числа. Для відмінності тих гіпердействітельних чисел, що не є дійсними (елементи R) назвемо їх стандартними, а остальнгие гіпердействітельние (елементи * R R) - Нестандартними. Тоді нескінченно малі є нестандартними, так як серед дійсних чисел нескінченно малих немає.
Нескінченно малі позитивні числа менше всіх стандартних позитив...
