ть цього наближеної рівності тим вище, чим менше Dx. Похідна f Вў (x) є наближеним коефіцієнтом пропорційності між Df і Dx.
Таблиця похідних елементарних функцій.
f (x)
В
f (x)
В
f (x)
В
C
0
В В
cosx
-sinx
x
1
lnx
1/x
tgx
1/cos 2 x
x n
nx n-1
a x
a x lna
arcsina
В В
1/(2)
В В
arccosa
-
1/x
-1/x 2
sinx
cosx
arctgx
1/(1 + x 2 )
Основні властивості похідної.
1. Якщо функція має похідну в точці, то вона неперервна в цій точці.
2. Якщо існує f Вў (x), і С - довільне число, то функція має похідну: (Cf (x)) Вў = Cf Вў (x). p> 3. Якщо існують f Вў (x) і g Вў (x), то функція S (x) = f (x) + g (x) має похідну: S Вў (x) = f Вў (x) + g Вў ; (x).
4. Якщо існують f Вў (x) і g Вў (x), то функція P (x) = f (x) g (x) має похідну: P Вў (x) = f Вў (x) g (x) + f ( x) g Вў (x).
5. Якщо існують f Вў (x) і g Вў (x) і при цьому g (x) В№ 0, функція D (x) = f (x)/g (x) має похідну: D Вў (x) = (f Вў (x) g (x) ; пЂ f (x) g Вў (x))/g 2 (x).
Похідна складної функції.
Нехай функція g (x) має похідну в точці x, а функція f (z) має похідну в точці z = g (x). Тоді складна функція F (x) = f (g (x)) має в точці x похідну F Вў (x) = f Вў (z) g Вў (x).
Назвемо функцію b (z) нескінченно малої в точці z = z 0 , якщо.
Нехай функції b (z) і g (z) є нескінченно малими в точці z = z 0 .. Функція b (z) називається нескінченно малою більш високого порядку, ніж функція g (z), якщо.
Величини r 1 і r 2 у формулах (2) є функціями аргументу Dx, нескінченно малими в точці Dx = 0. Можна показати, що. Це означає, що функції r 1 (Dx) і r 2 (Dx) є нескінченно малими функціями вищого порядку, ніж Dx, в точці Dx = 0.
Таким чином приріст функції y = f (x) в точці, в якій існує її похідна, може бути представлено у вигляді
Dy = f Вў (x) Dx + b (Dx),
де b (Dx) - нескінченно мала функція вищого порядку, ніж Dx, в точці Dx = 0.
Головна, лінійна відносно Dx, частина приросту функції y = f (x), рівна f Вў (x) Dx, називається диференціалом і позначається dy:
dy = f Вў (x) Dx.
,
тобто похідна функції f (x) дорівнює стосовно диференціала функції до диференціалу аргументу x.
Властивості диференціала.
1. dC = 0 (тут і в наступній формулою C пЂ постійна);
2. d (Cf (x)) = Cdf (x);
3. Якщо існують df (x) і dg (x), то d (f (x) + g (x)) = df (x) + dg (x), d (f (x) g (x)) = g (x) df (x) + f (x) dg (x). Якщо при цьому g (x) В№ 0, то.
Нехай функція y = f (x) диференційовна на деякому відрізку [ab]. У такому разі її похідна являє собою теж деяку функцію х. Продифференцировав цю функцію, ми отримаємо так звану другу похідну (або похідну другого порядку) функції f (x). Продовжуючи цю операцію, можна отримати похідні третього, четвертого і вищих порядків. При цьому f `(x) будемо називати похідної першого порядку.
Похідній n-го порядку (або n-й похідної) від функції f (x) називається похідна (першого порядку) від її (n-1)-й похідної.
Позначення: Похідні 2-го і 3-го порядку позначаються відповідно y 'і y'. p> Властивості похідних вищих порядків.
Основні властивості похідних вищих порядків випливають з відповідних властивостей першої похідної:
1. (Cf (x)) (n) = c О‡ f (n) (x). p> 2. (F (x) + g (x)) (n) = f (n) (x) + g (n) (x ).
3. Для y = x m y (n) = n (n-1) ... (n-m +1) x mn . Якщо m - натуральне число, то за n> my ( n ) = 0. p> 4. Можна вивести так звану формулу Лейбніца, що дозволяє знайти похідну n-го порядку від добутку функцій f (x) g...
