(x):
.
Диференціали вищих порядків.
Диференціал від диференціала функції називається її другим диференціалом або диференціалом другого порядку.
Позначення: d ВІ y = d (dy).
Диференціалом n-го порядку називається перший диференціал від диференціала (n-1)-го порядку:
d n y = d (d n-1 y) = (F (n-1) (x) d n-1 x) = f (n) (x) d n x.
Властивості диференціалів вищих порядків.
1. Похідну будь-якого порядку можна представити як відношення диференціалів відповідного порядку:
. p> 2. Диференціали вищих порядків не мають властивість інваріантності.
Точки екстремуму функції.
Точка х 0 називається точкою максимуму (мінімуму) функції y == f (x), якщо f (x) ≤ f (x 0 ) (f (x) ≥ f (x 0 )) для всіх х з деякої Оґ-околі точки х 0 .
Точки максимуму і мінімуму функції називаються її точками екстремуму.
Теорема (теорема Ферма). Якщо функція y = f (x) визначена в деякій околиці точки х 0 , приймає в цій точці найбільше (найменше) у розглянутої округа значення і має в точці х 0 похідну, то f '(x 0 ) = 0.
Твір послідовних натуральних чисел 1 в€™ 2 в€™ 3 ​​∙ ... в€™ (n-1) n називається факторіалом числа n і позначається
n! = 1 в€™ 2 в€™ 3 ​​∙ ... в€™ (n-1) n. p> Додатково вводиться 0! = 1.
В
Отримане представлення функції називається формулою Тейлора, а R n (x) називається залишковим членом формули Тейлора. p> Форми залишкового члена у формулі Тейлора. p> R n = o (xa) n запис залишкового члена у формі Пеано.
Застосування формули Тейлора для наближених обчислень.
Замінюючи якусь функцію, для якої відомо розкладання по формулою Тейлора, многочленом Тейлора, ступінь якого вибирається так, щоб величина залишкового члена не перевищила вибране значення похибки, можна знаходити наближені значення функції з заданою точністю.
Знайдемо наближене значення числа е, обчисливши значення многочлена Тейлора (21.14) при n = 8:
При цьому
Функція y = f (x) називається зростаючою (спадною) на [ab], якщо
таких, що x 1 2 , f (x 1 ) 2 ) (f (x 1 )> f (x 2 )).
Якщо функція f (x), дифференцируемая на [ab], зростає на цьому відрізку, то на [Ab]. p> Якщо f (x) НЕ переривана на [ab] і диференційовна на (ab), причому для a
Теорема (необхідна умова екстремуму). Нехай функція f (x) задана в деякій околиці точки х 0 . Якщо х 0 є точкою екстремуму функції, то чи не існує. p> Якщо функція визначена в деякій околиці точки х 0 і її похідна в цій точці дорівнює нулю або не існує, точка х 0 називається критичною точкою функції.
Достатні умови екстремуму.
Теорема Нехай функція f (x) неперервна в деякій околиці точки х 0 , диференційована в проколеної околиці цієї точки і з кожного боку від даної точки f '(x) зберігає постійний знак. Тоді:
1) якщо f '(x)> 0 при x 0 і f' (x) <0 при x> x 0 , точка х 0 є точкою максимуму;
2) якщо f '(x) <0 при x 0 і f' (x)> 0 при x> x 0 , точка х 0 є точкою мінімуму;
3) якщо f '(x) не змінює знак у точці х 0 , ця точка не є точкою екстремуму.
Найбільше і найменше значення функції, що диференціюється на відрізку знаходять за схемою:
1) знайти критичні точки функції, що належать даному відрізку;
2) обчислити значення функції в точках а і b, а також у знайдених критичних точках. Найменше з отриманих чисел буде найменшим значенням функції на даному відрізку, а найбільше - її найбільшим значенням на ньому.
Асимптоти.
Пряма називається асимптотой графіка функції y = f (x), якщо відстань від зміною точки цього графіка до прямої прямує до нуля при видаленні точки в нескінченність.
Розглянемо три види асимптот і визначимо способи їх знаходження.
1. Вертикальні асимптоти - прямі, що задаються рівняннями виду х = а. У цьому випадку визначення асимптоти підтверджується, якщо хоча б один з односторонніх меж функції в точці а нескінченний. Приклад. Вертикальної асимптотой графіка функції y = 1/x є пряма х = 0, тобто вісь ординат.
2. Горизонтальні асимптоти - прямі виду у = а. Такі асимптоти має графік функції, межа якої при або при кінцевий, тобто . p> 3. Похилі асимптоти - прямі виду y = kx + b. Знайдемо k і b. Оскільки при,, якщо ця межа існує, кінцевий і не дорівнює нулю. Однак навіть при виконанні цих умов похила асимптота може не існувати. Для її існування потрібно, щоб був кінце...
