итого проміжку, називається безперервної на цьому проміжку.
Властивості границі функції.
1. Функція не може мати в одній точці два різних меж.
2. , Якщо C - постійна функція. p> 3. Якщо існує і C - постійна функція, то
.
4. Якщо існують і, то існує, рівний, а також існує, рівний. Якщо при цьому, то існує, рівний. p> Число B називається границею функції f (x) в точці a справа (це записується у вигляді формули), якщо для будь-якого позитивного числа e знайдеться позитивне число d, таке що з з умови 0
Згідно з наведеним визначенням.
Число З називається межею функції f (x) в точці b ліворуч (це записується у вигляді формули), якщо для будь-якого позитивного числа e знайдеться позитивне число d таке, що з умови 0 Функція f (x) називається безперервної в точці a справа (безперервної в точці b ліворуч), якщо
().
Функція неперервна праворуч у точці x = 0.
Функція називається безперервної на замкнутому проміжку [a, b], якщо вона неперервна на відкритому проміжку (a, b), неперервна праворуч у точці a і неперервна зліва в точці b.
Для того, щоб виконувалося рівність, необхідно і достатньо, щоб одночасно виконувалися дві рівності:
;
Число А називається границею функції f (x) при х, що прямує до безкінечності:
,
якщо для будь-якого позитивного числа e можна знайти таке позитивне число M (залежне від e), що для всіх чисел х, переважаючих М, виконується умова:
ВЅ f (x) - A ВЅ
Нехай тепер функція f (x) визначена на підлозі нескінченному проміжку
(- ВҐ; х 0 ). Число А називається границею функції f (x) при х, що прямує до мінус нескінченності:
,
якщо для будь-якого позитивного числа e можна знайти таке позитивне число M (залежне від e), що для всіх чисел х, менших, ніж - М, виконується умова:
ВЅ f (x) - A ВЅ
Два, так званих, "Чудових межі". p> 1 .. Геометричний зміст цієї формули полягає в тому, що пряма є дотичною до графіка функції в точці. p> 2 .. Тут e - ірраціональне число, що приблизно рівне 2,72. p> Питання для самоперевірки.
1.Наведіть приклад функції, яка не має межі в даній точці.
2.При яких умовах з існування меж ліворуч і праворуч слід існування границі функції в даній точці.
3.Какова зв'язок між поняттями границі функції і нескінченно малої функції?
4.Какова зв'язок між нескінченно малої і нескінченно великою функцією?
5.Пріведіте приклади нескінченно малих функцій: еквівалентних, одного порядку, різного порядку малості.
6.Чим дорівнює межа суми чотирьох функцій?
7.У чому відмінність між поняттями межі і безперервності функції в точці?
8.При яких умовах неперервна складна функція?
Тема7. Диференціального числення
Поняття похідної. Геометричний зміст. Правила обчислення похідних. Похідна складної функції. Таблиця похідних. Похідні вищих порядків. Поняття диференціала і його геометричний зміст. Застосування диференціала для наближених обчислень. Інваріантість диференціала. Формула Тейлора і залишковий член. Формула Тейлора для елементарних функцій. застосування для наближеного обчислення функцій і меж. містять невизначеність. Зростання і спадання функцій. Екстремуми. опуклість, увігнутість, точки перегину. асимптоти. Побудова графіків. p> КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
В
Розглянемо функцію y = f (x), безперервну в деякій околиці точки x. Нехай Dx пЂ прирощення аргументу в точці x. Позначимо через Dy або Df приріст функції, рівне f (x + Dx) - f (x). Відзначимо тут, що функція неперервна в точці x, якщо в цій крапці нескінченно малому приросту аргументу Dx відповідає нескінченно малий приріст функції Df.
Ставлення Df/Dx, як видно з малюнка 1, одно тангенсу кута a, який складає січна MN кривої y = f (x) c позитивним напрямом горизонтальній осі координат.
Ставлення Dy/Dx або, що те ж саме (f (x + Dx) пЂ f (x))/Dx, можна розглядати при заданому x як функцію аргументу Dx. Ця функція не визначена в точці Dx = 0. Однак її межа в цій точці може існувати. p> Якщо існує межа відносини (f (x + Dx) - f (x))/Dx в точці Dx = 0, то він називається похідною функції y = f (x) в точці x і позначається y Вў або f Вў (x):
.
Знаходження похідної функції y = f (x) називається диференціюванням.
Якщо для будь-якого числа x з відкритого проміжку (a, b) можна обчислити f Вў (x), то функція f (x) називається диференційованою на проміжку (a, b).
Геометричний зміст похідної полягає в тому, що похідна функції f (x) в точці x дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в цій точці.
Похідна пЂ це швидкість зміни функції в точці x. З визначення похідної випливає, що f Вў (x) В»Df/Dx, причому точніс...
