x 1 , ..., x n , то П‰ ( x ) = в”Ђ T ( x ) є функцією від n змінних, т. е. П‰ ( x ) = П‰ ( x 1 , ..., x n ). Тому має сенс говорити про безперервність цієї функції (по сукупності змінних x 1 , ..., x n ) і про діфференцируємості цієї функції по кожній із змінних x 1 , ..., x n .
А також будемо припускати, що для розглянутого керованого об'єкта виконується наступна гіпотеза:
Г і п о т е з а 2. Функція П‰ ( x ) неперервна і всюди, крім точки x 1 , має безперервні приватні похідні
Нехай тепер x 0 в”Ђ довільна відмінна від x 1 точка фазового простору, а u 0 в”Ђ довільна точка області U . Припустимо, що об'єкт знаходиться в момент t 0 у фазовому стані x 0 і рухається протягом деякого часу під впливом постійного управління u = u 0 . Фазову траєкторію об'єкта при цьому русі позначимо через y (t) = ( y 1 ( t) , ..., y n ( t )). Таким чином, фазова траєкторія y ( t ) при t> t 0 задовольняє рівнянням
(1.9)
(див. (1.2), (1.3)) і початковій умові
y ( t 0 ) = x 0 . (1.10)
Якщо ми будемо рухатися з точки x 0 до точки y ( t ) (По розглянутій фазової траєкторії), то витратимо на це рух час t в”Ђ t 0 . Рухаючись потім з точки y ( t ) оптимально, ми витратимо на рух від точки y ( t ) до точки x 1 час T ( y ( t )). У результаті ми здійснимо перехід з точки x 0 у точку x 1 , витративши на цей перехід час ( t в”Ђ t 0 ) + T ( y (t )). Але так як оптимальний час руху від точки x 0 до точки x 1 одно T ( x 0 ), тобто одно T ( y ( t 0 )), то T (y ( t 0 )) ≤ ( t в”Ђ t 0 ) + T ( y ( t )). Замінюючи функцію T через П‰ (див. (1.8)) і розділивши обидві частини нерівності на позитивну величину t в”Ђ t 0 , отримуємо звідси і тому, переходячи до межі при t в†’ t 0 , знаходимо
в”‚ при ≤ 1. (1.11)
Але похідна, зазн...
