ачена в лівій частини цієї нерівності, обчислюється за формулою повної похідної Тому згідно (1.9) і (1.10) нерівність (1.11) приймає вигляд Точки x 0 , u 0 тут були довільними. Таким чином, для будь (відмінною від x 1 ) точки x фазового простору і будь-якої точки u області управління U виконано співвідношення
(1.12)
Нехай тепер ( u ( t ), x ( t )) в”Ђ оптимальний процес, що переводить об'єкт з фазового стану x 0 у стан x 1 , і t 0 ≤ t ≤ t 1 в”Ђ відрізок часу, протягом якого це оптимальний рух відбувається, так що x ( t 0 ) = x 0 , x ( t 1 ) = x 1 і t 1 = t 0 + T ( x 0 ). Рух по розглянутій оптимальної траєкторії від точки x 0 до точки x ( t ) здійснюється протягом часу t в”Ђ t 0 , а рух від точки x ( t ) до точки x 1 в”Ђ протягом часу T ( x 0 ) в”Ђ ( t в”Ђ t 0 ). Швидше, ніж за час T ( x 0 ) в”Ђ ( t в”Ђ t 0 ), з точки x ( t ) потрапити в точку x 1 неможливо. Отже, T ( x 0 ) в”Ђ ( t в”Ђ t 0 ) є час оптимального руху з точки x ( t ) в точку x 1 , тобто T ( x ( t )) = T ( x 0 ) в”Ђ ( t в”Ђ t 0 ). Замінивши тут T через П‰ , тобто П‰ ( x ( t )) = П‰ ( x 0 ) + t в”Ђ t 0 ) і взявши похідну за t , отримуємо
t 0 ≤ t ≤ t 1 . (1.13)
Таким чином, для кожного оптимального процесу протягом всього руху виконується рівність (1.13). p> Якщо ми тепер введемо в розгляд функцію
B ( x, u ( t )) =, (1.14)
Те співвідношення (1.12) і (1.13) можуть бути записані таким чином:
B ( x, u ) ≤ 1 для всіх точок x в‰ x 1 і u ; (1.15)
B ( x, u ) в‰Ў 1 для будь-якого оптимального процесу ( u ( t ), x ( t )). (1.16)
Отже, справедлива наступна
Т е о р е м а 1.1. Якщо для керованого об'єкта, описуваного рівнянням (1.5) і запропонованого кінцевого стану x 1 виконані гіпотези
