жуть лише тим, що перша з них цим рівнянням визначена в одній прямокутної координатної системі, а друга - в іншій; але, поєднуючи першу координатну систему з другої допомогою (власного або невласного) руху, ми сумісний одну з наших поверхонь з іншого. Отже, дві центральні поверхні тоді і тільки тоді ізометрічни між собою, коли вони мають одне і те ж найменування і коли їх півосі (відповідні членам канонічного рівняння даних знаків) відповідно рівні між собою. p align="justify"> Зауважимо, що (як безпосередньо випливає з визначень чисел а, b, с) у всіх розглянутих випадках два характеристичних числа рівні між собою тоді і тільки тоді, коли відповідні дві півосі центральної поверхні рівні і входять в канонічне рівняння поверхні з одним і тим же знаком.
Ми бачили, що рівність двох-яких піввісь, наприклад а = b, еліпсоїда означає, що ми маємо еліпсоїд обертання (сферу, якщо а = b = с). Тому ознакою еліпсоїда обертання є рівність двох характеристичних чисел, а ознакою сфери - рівність ? 1 =? 2 =? 3 . Точно так само однопорожнинний гіперболоїд є гіперболоїдом обертання, якщо а 2 = b 2 , тобто ? 1 = < span align = "justify"> =?, 2 ; те ж вірно і для двуполостного гіперболоїда, і для конуса. Отже, рівність двох характеристичних чисел необхідно і достатньо для того, щоб центральна поверхня була поверхнею обертання, а рівність ? 1 =? 2 =? 3 вірно для сфери (дійсної чи уявної), і тільки для неї.
Переходимо до випадку поверхні (1) рангу r = 2. Покажемо, що в цьому випадку рівняння (1) визначає: при ? ? 0 (тобто R = 4) параболоїд, еліптичний, якщо ? <0, гіперболічний, якщо ? > 0, а при ? = 0, R = 3 - "центральний" (тобто еліптичний або гіперболічний) циліндр, вироджується при R = r = 2 в пару пересічних площин.
Отже, нехай r = 2. Тоді серед характеристичних чисел многочлена F (x, y, z) два, покладемо ? 1 і ?
