> 2 , відмінні від нуля і ? 3 = 0.
В деякій прямокутній системі координат Ox'y'z '(з тим же початком, що і початкова система Oxyz) рівняння (1) приймає вигляд
В
Маємо
(2)
звідки укладаємо, що ? ? 0 тоді і тільки тоді, коли а ' 3 ? 0. Розглянемо спочатку випадок, коли ? ? 0 і, отже, а ' 3 ? 0. Перенесення початку координат О в довільну точку О '= (х' 0 , у ' 0 , z ' 0 ) тобто перетворення
В
переводить многочлен F '{х', у ', z') в
В
Визначаючи х ' 0 , у' 0 і z ' 0 з рівнянь
В
Отримуємо
В
Отже, в належно обраної прямокутній системі координат рівняння всякої поверхні рангу r = 2, R = 4 приймає вигляд
(II)
З (2) отримуємо
В
Так як а ' 3 , - дійсне число, то ? має завжди знак, протилежний знаку ? 1 ? 2 . Іншими словами, ? позитивний, коли характеристичні числа ? 1 і ? 2 різних знаків (гіперболічний випадок) , і негативно, якщо ? 1 і ? 2 одного і того ж знаку (еліптичний випадок). Змінивши, якщо потрібно, позитивний напрямок осі z на протилежне, завжди можемо припустити, що знак а '
