і ? 2 мають однакові знаки, а число ? 3 - знак, їм протилежний. Тоді, вважаючи В
надаємо рівнянням (I **) вид
В
Це канонічне рівняння однополостного гіперболоїда.
Отже, кожна центральна поверхню другого порядку є або конус (дійсний або уявний), або еліпсоїд (дійсний або уявний), або гіперболоїд (двуполостного або однопорожнинний). Позитивні числа а, b, з у канонічному рівнянні центральної поверхні, які є її півосями, виражаються через характеристичні числа ? 1 , ? 2 ,? 3 і детермінанти ?,?, т. е. через ортогональні інваріанти многочлена F (x, у, z), і, значить, не змінюються при переході від прямокутної координатної системи Oxyz, в якій задане рівняння F (x, у, z) = 0 розглянутої поверхні, до будь-якої іншої прямокутної координатної системі. Але вони не залежать також і від того, яким з рівнянь, що визначають у первісній системі Oxyz дану поверхню, ми скористалися. Справді, рівняння ці відрізняються один від одного тільки числовим множником k. Але при множенні всіх коефіцієнтів многочлена F (x, у, z) на дане число k на це ж k множаться і ? / ?, і все характеристичні числа ? 1 , ? 2 < span align = "justify">, ? 3 ; тому a 2 , b 2 , з 2 , значить, і а, b, з залишаються незмінними. Отже, півосі центральної поверхні не залежать ні від вибору прямокутної системи координат, ні від того рівняння (з числа визначальних дану поверхню), яким в цій системі координат ми нашу поверхню задано; вони залежать тільки від самої поверхні як геометричної фігури, тобто як множини точок у просторі.
Зворотно, якщо дано найменування центральної поверхні і її півосі а, b, с, то поверхня цілком визначена з точністю до її положення в просторі. Справді, дві однойменні поверхні з одними і тими ж полуосями мають одне і те ж канонічне рівняння; значить, відрізнятися вони мо...
