й опис алгоритму методу ортогональної прогонки представлено в роботах [9] і [10].
1.4.4 Теорія збурень (зауваження про точність рішення)
Нехай крайова задача
,,, (4.17)
правильно поставлена. (Тут A (x) - матриця розміру n Ч n , L , R - прямокутні матриці розміру k Ч n і p Ч n відповідно, причому k + p = n, вектор-функція f (x) - розміру n ). Це означає, що крайова задача (4.17) має єдине рішення для будь-яких,? і будь-якої неперервної на відрізку [0, d] вектор-функції f (x). Тоді рішення задачі представляється c допомогою матриць Гріна G (x, s),, (див. [11])
, (4.18)
де - матриця-функція розміру n Ч k , рішення задачі
В
матриця-функція розміру n Ч p , рішення задачі
В
де - нульова матриця розміру l Ч m .
Будемо говорити, що завдання (4.17) добре обумовлена, якщо для будь-яких x і s з інтервалу вірні оцінки
(4.19)
З (4.18) випливає, що для розв'язання добре обумовленої задачі (4.17) справедлива оцінка
. (4.20)
Це дозволяє стверджувати, що рішення задачі (4.17) стійко по відношенню до збурень. Припустимо, що ми одночасно розглядаємо дві "близькі" крайові задачі. Перше завдання полягає у знаходженні на відрізку 0? x? d рішення u (x) системи
,
задовольняє граничним умовам
,.
У другій задачі потрібно на тому ж відрізку знайти рішення системи
(4.21)
для якого
,
.
Матриці,, що входять до граничні умови, передбачаються мають те ж число рядків і стовпців, що і L, R відповідно. Твердження, що перша і друга завдання "близькі, можна розуміти як твердження, що мають місце нерівності
(4.22)
де
- досить маленьке число.
Усюди f (x), - безперервні вектор-функції. Виявляється, що з разрешимости першого завдання при не надто великому? випливає разрешимость другий.
Теорема 1. Нехай u (x) - рішення правильно поставленого завдання (4.17), для функцій Гріна, якої справедливі оцінки (4.19).
Нехай поряд з крайової завданням (4.17) є близька до неї крайова задача (4.21), причому для елементів, які визначають цю крайову задачу, справедливі оцінки (4.22).
Тоді при
?
існує і єдино - рішення задачі (4.21) і для нього вірна оцінка
, (4.24)
причому Ој - число обумовленості задачі дорівнює
Ој = K (2 + d) (1 + 2KF),
де
.
