нт також були взяті з роботи Lamponi [1].
1.4 Реалізація моделі
1.4.1 Зведення до звичайного диференціального рівняння
Розглянемо рівняння (2.1), до якого звелася система гемодинаміки
(4.1)
де вектор невідомих, і при? = 1
,.
Потрібно знайти розподіл U = U (t, z) вздовж осі z в будь-який момент часу t , при заданих початкових і граничних умовах .
Дискретизація за часом. Розглянемо просторово-часову систему координат {t, z} . У півсмузі побудуємо по осі t смуги з кроком за часом
k = 0,1, ... Нехай Тоді
І замість (4.1) отримуємо
(4.2)
Перепишемо останній вираз у вигляді
(4.3)
Таким чином, у нас вийшло диференціальне рівняння
(4.4)
де матриця G має вигляд
(4.5)
а вектор f є
. (4.6)
Тут в елементи G і f входять відомі величини, які беруться з попереднього тимчасового шару.
1.4.2 Лінеаризація граничних умов
Граничні умови (3.1), (3.3), (3.6) не є лінійними. Для лінеаризації зробимо наступне перетворення
(4.7)
Для лінеаризації (3.6) також використовуються ис попереднього кроку за часом:
(4.8)
Позначимо
, (4.9)
, (4.10)
, (4.11)
тоді
. (4.12)
Після цього, граничні умови (3.2), (3.3) для звичайного диференціального рівняння (4.4), з урахуванням (4.9) - (4.12) формулюються у вигляді
, (4.13)
. (4.14)
Граничне умова (3.6) (у загальному випадку) буде виглядати так
. (4.15)
Рішення. Для чисельного рішення диференціального рівняння (4.4) з граничними умовами (4.13), (4.14), (3.3), (4.15) використовуємо метод ортогональної прогонки. br/>
.4.3 Метод ортогональної прогонки
Метод ортогональної прогонки призначено чисельного рішення крайової задачі
В
,,, (4.16)
г де А - матриця розміру nЧn , f - вектор-функція розміру n , L , R - прямокутні матриці розміру kЧn і pЧn, їх ранги відповідно рівні k і p . Елементи матриці A (x) і вектор-функції передбачаються безперервними на відрізку. Метод заснований на представленні рішення задачі (4.16) через рішення серій завдань Коші. Метод ортогональної прогонки зарекомендував себе на практиці як ефективний і надійний засіб чисельного рішення крайової задачі. Він має підвищену стійкість до похибок заокруглень при реалізації методу на комп'ютері. p> Детальни...
