зованої функції Р=Р (х) в точці х=а відомі її значення Р (a) , величини першого, другий і т.д. похідних, то ряд Тейлора дозволяє знайти значення функції Р (х) в довколишній точці х.
Припустимо тепер, що на осі ОХ є деякий відрізок МN, який розбитий на п рівних частин так, як зазначено на малюнку 3.1. Тоді відстань (крок) між двома точками дорівнює h=(N-М) / n .
Малюнок 3.1 - Схема розбиття відрізка MN на n рівних елементарних відрізків
Виберемо довільні точки i - 1, i і i +1 на відрізку МN. За допомогою ряду Тейлора (3.1) запишемо значення функції в режимі в точках i - 1 і i +1 через значення функції та її похідних в i -й точці. Для точки i - 1 величина (х-а) =-h, а для точки i +1 вона дорівнює h . Отже,
, (3.2)
. (3.3)
Тут Р i , Р i - 1 , P i + 1 відповідно значення функції в i -й, ( i - 1)-й, ( i +1) -ї точках; Р i , Р" i , ... - відповідно значення першого, другий та інших похідних по х в i - й точці.
З виразів (3.2) і (3.3) легко отримати значення першої похідної в точці i :
, (3.4)
. (3.5)
Тут R 1 (h) і R 2 (h) - суми залишкових членів, причому перший з відкидаються членів має порядок малості h (пропорційний кроці h ).
Таким чином, формула (3.4) без R 1 (h) дає значення першої похідної для кінця інтервалу [( i - 1), i ], а формула (3.5) без R 2 (h) - для кінця інтервалу [ i , ( i +1)] з похибкою порядку малості h , так як R 1 (h) і R 2 (h) - члени першого порядку щодо кроку h.
Більше точний вираз для першої похідної по х в точці i отримаємо, якщо віднімемо (3.3) з (3.4). В результаті маємо:
. (3.6)
Тут R 2 (h) - член другого порядку малості щодо кроку h. Звернемося до графічної інтерпретації отриманих формул. На малюнку 3.2 наводиться залежність Р=Р (х) поблизу точки i. Лінія 4 представляє собою дотичну до функції Р=Р ( х) в точці i , значить тангенс її нахилу до осі х дорівнює значенню першої похідної в точці i . Згідно (3.4), при нехтуванні залишковим членом R 1 (h) значення похідної в точці i замінюємо тангенсом кута нахилу січної 1. Згідно (3.5), при нехтуванні залишковим членом R 2 (h) значення похідної в точці i замінюємо тангенсом кута нахилу січної 3. При використанні виразу (3.6) без залишкового члена R 3 (h) перша похідна в точці i прирівнюється до тангенсу кута нахилу січної 2 . Тепер стає зрозумілим, чому вираз (3.6) (без залишкового члена) точніше аппроксимирует похідну в точці i , ніж виразу (3.4) і (3.5) (також без залишкових членів).
Рисунок 3.2 - Графічна інтерпретація апроксимуючи...
