х виразів для першої похідної
Склавши (3.2) і (3.3), отримаємо апроксимує вираз для другої похідної в точці i :
. (3.7)
Звідси видно, що для апроксимації другої похідної в точці i використовуються значення функції в самій точці i і в сусідніх (зліва і справа) точках. При цьому відкидаємо член R 4 має другий порядок малості щодо кроку h .
Тепер розглянемо диференціальне рівняння несталої плоскопараллельной фільтрації рідини (в безрозмірному вигляді):
. (3.8)
Цікавий Для нас інтервал часу [0, T] розіб'ємо на k рівних частин. Точки розбиття тимчасового інтервалу позначимо через 0, 1, .., j , j +1, ..., k Тиск в точці з координатою х=i? x в момент t=j? t позначимо через p i, j , відповідно тиск в точці пласта з координатою х=i? x в момент t=(j - 1)? t - через p i, j- 1 і т.д.
Тоді рівняння (3.7) з урахуванням (3.5) і (3.7) для точки i можна записати наступним чином:
. (3.9)
Тут O [? t + (? x) 2 ] - похибка апроксимації рівняння (3.8) звичайно-різницевим рівнянням. Надалі вважаємо, що даним членом можна знехтувати.
3.1.2 Облік неоднорідності
Результати попереднього пункту узагальнимо на випадок пласта, неоднорідного за своїми колекторським властивостям. Зміна властивостей пласта буде здаватися деякою функцією просторової координати k=k (x) . Тоді рівняння (3.8) перепишеться у вигляді
. (3.10)
Апроксимуємо це рівняння системою різницевих рівнянь. Введемо позначення. На серединах інтервалів [( i - 1)? X , i ? X ] і [ i ? x, ( i +1)? x ] введемо проміжні точки з номерами відповідно i - 1/2 і i +1 / 2. Тоді значення похідної в i -й точці можна записати у вигляді
, (3.11)
де O [(? x ) 2] - залишковий член порядку (? x ) 2;
через k i +1 / 2 позначена величина k [( i +1 / 2)? x ].
Неважко бачити, що
, (3.12)
. (3.13)
Надалі, як і раніше, залишковими членами будемо нехтувати.
Підставивши (3.11) - (3.13) у рівняння (3.10), отримаємо наступний її кінцево-різницевий аналог
. (3.14)
3.1.3 Явна і неявна різницеві схеми
Рівняння (3.9) можна записати двояким чином залежно від того, до якого тимчасовому шару відносити його ліву частину. Припустимо, що рішення рівняння (3.8) на момент (j - 1)? T вже відомо. Відшукується рішення на момент j? T .
Запишемо ліву частину рівняння (3.9) на часовому шарі t=(j - 1)? t :
. (3.15)
Якщо ліву частину рівняння (3.9) записати на часовому шарі t=j? t , то отримаємо
. (3.16)
Рівняння (3.15) відповідає явною, а рівняння (3.16) - неявній різницевої схемою.
З рівняння (3.15) видно, що в нього входить лише одна невідома величина - p i, j , (малюнок 3.3). Якщо рішення задачі на шарі (j - 1)? T відомо, то, застосовуючи послідовно рівняння ...
