В якості прикладу розглянемо Кротова нору в точній вирішенні анти-Фішера рівнянь гравітації, що описують Кротову нору.
Розглянемо рішення анти-Фішера при: у разі k lt; 0 воно описує Кротова нору з двома просторовими АСИМПТОТИКИ при і. Метрика має вигляд
, (31)
де гармонійна координата u виражається через квазіглобальную координату, задану на всій числовій осі R, формулою. При m gt; 0 Кротова нора притягує навколишнє пробну матерію на першій асимптотиці () і відштовхує на другий () і навпаки у разі m lt; 0. При m=0 виходить найпростіше рішення, що зветься кротові норою Елліса (хоча фактично в роботі Х. Елліса [19] обговорювалися анти-фішеровським кротові нори з довільною масою).
Горловина кротові нори знаходиться при значенні і має розмір
. (32)
У статті [20] показано, що антіфішеровскіе КН нестійкі відносно малих збурень і що характерний час зростання збурень має порядок, тобто часу поширення світлового променя на відстань порядку розміру горловини.
Відомі аналоги метрики (31) з ненульовим електричним зарядом [21], але залежність їх стійкості або нестійкості від величини заряду поки не досліджена.
.2.3 Альтернативна гравітація і вакуум як джерела кротячих нір
Наведені в попередньому розділі алгоритми показують множинність і різноманітність метрик кротячих нір навіть у досить вузькому класі статичних сферично-симетричних просторів. Це, однак, не знімає питання про можливих реальних матеріальних джерелах кротячих нір, що задовольняють - при тій же симетрії - умовам (24).
Звичайні класичні (нефантомние) поля до кротячого норах не приводять, так як всі вони задовольняють світловому енергетичного умові. Цей результат отриманий в теорії Ейнштейна. Він, однак, допускає узагальнення на великий клас альтернативних теорій гравітації, в яких рівняння гравітації після деякого конформного відображення зводяться до рівнянь ЗТВ з додатковим нефантомним скалярним полем. Такі скалярнотензорние теорії (СТТ) гравітації за умови, досить популярні останнім часом F (R) -теорії, в яких замість лагранжиана ОТО () гравітаційний лагранжіан береться як деякою функції F (R), а також клас теорій, об'єднуючий СТТ і F (R) -теорії, в яких лагранжіан містить функцію двох змінних. Перетворення від вихідних рівнянь щодо фізичної метрики (так званої картини Йордана) до рівнянь ЗТВ зі скалярними полями (картина Ейнштейна) отримані в загальному вигляді в статтях [22] (для СТТ), [23,24,25,26,27,28, 29,30] для F (R) -теорію і в [31] для -теорію.
Справді, нехай метрика у вихідному різноманітті (картина Йордана) і метрика в різноманітті (картина Ейнштейна) пов'язані конформним відображенням
, (33)
де f (x) - усюди регулярна функція просторово-часових координат, обмежена як зверху, так і знизу деякими позитивними константами. Згідно [17], в ОТО для існування статичної горловини (визначеної як мінімальна двовимірна поверхню в тривимірному просторі) необхідно, щоб матеріал джерело в рівняннях Ейнштейна порушував світлове енергетичне умова. Отже, якщо світлове енергетичне умова не порушено, не можуть існувати не тільки кротові нори, але навіть горловини. Далі, при зроблених припущеннях перетворення (33) завжди переводить плоску асимптотику в в плоску асимптотику в і назад (хоча відповідні шварцшільдовскім маси можуть відрізнятися через мінливість f). Якщо припустити, що мається двічі асимптотично плоска Кротова нора в, то кожній її плоскою асимптотиці відповідає аналогічна асимптотика в, і в силу гладкості перетворення ми отримуємо Кротову нору в, в суперечності зі сказаним вище. Таким чином, статичні асимптотично плоскі кротові нори відсутні і в.
Це просте міркування [32,33] не вимагає ніяких припущень про просторової симетрії і працює при вельми загальних припущеннях про вихідної теорії. Воно допускає узагальнення та на динамічні кротові нори [33], так як і вони в рамках ОТО вимагають порушення світлових енергетичних умов, хоча у динамічному випадку введення поняття горловини стикається з деякими складнощами [18].
Слід підкреслити, що горловини в картині Йордана не заборонені, тому що в ній можуть бути локальні порушення енергетичних умов. Однак, як ми бачили, кротячих нір як глобальних змін при цьому не існує.
При ослабленні обмежень на вид функції f (x) можна отримати Кротова нору в картині Йордана в деяких теоріях (як ми бачили вище на прикладі конформного скалярного поля), однак при цьому, як з'ясовується, вони володіють досить патологічними властивостями, наприклад на другий плоскою асимптотиці ефективна гравітаційна постійна або прагне до нескінченності [34], або має невірний знак.
Отже, без явного введення фантомних полів отримати більш-менш реалістичні кротові нори в класичній теорії поля виявляється досить важко. Однак досить багатообіцяюче з погляду пошуків кротячих нір виглядають квантові явища....
