их нір.
Загальна теорія відносності, поза всяким сумнівом, претендує на опис реальності. Проте в ній знайдено чимало рішень, що описують кротові нори і інші простори із замкнутими тимчасовими петлями, але всі вони, як правило, з тих чи інших причин визнаються нереалистическими. Так, вельми цікаве рішення рівнянь Ейнштейна вказав Гедель [3]. Як говорилося вище, це однорідна стаціонарна Всесвіт, що обертається як ціле. Вона містить замкнуті временноподобние траєкторії, однак розрахунок показує, що мінімальна тимчасова довжина такої петлі багато більше часу існування Всесвіту.
Важливі обмеження випливають із самої структури рівнянь Ейнштейна. Ідея їх отримання полягає в тому, що, підставляючи в ліву частину рівнянь метрику, що володіє тими чи іншими властивостями, можна знайти явні обмеження на можливий вид правій частині (тобто ТЕІ), сумісний з цими властивостями. Простежимо, як це робиться, нам прикладі статичних сферично-симетричних просторів.
3.2.1 Сферично-симетричні кротові нори
Будемо, як було описано вище, виходити із загального виду (12) статичної сферично-симетричною метрики
(19)
і розглянемо деякі загальні властивості статичних сферично-симетричних кротячих нір, представляючи тензор енергії-імпульсу у вигляді
, (20)
де - відповідно, щільність, радіальне тиск і поперечне тиск, які, взагалі кажучи, можуть бути довільними функціями радіальної координати і. Це найбільш загальний вигляд тензора енергії-імпульсу, сумісний з метрикою (19).
Скористаємося двома різними радіальними координатами.
У квазіглобальних координатах метрика має вигляд
, (21)
а умови на горловині кротові нори, що виражають відсутність горизонту і кінцевий мінімум радіуса r, мають вигляд,,,. Тоді два рівняння Ейнштейна
, (22)
(23)
призводять до наступним умовам на горловині:
,. (24)
Зауважимо, що на знак щільності обмеження немає. Умови (24) носять локальний характер і не залежать від припущень про властивості системи далеко від горловини. Ясно, що обидві нерівності вельми незвичайні для макроскопічної матерії; правда, для польової матерії друге з них легко порушується, наприклад, для радіального електричного поля маємо.
Неважко переконатися, що перше з нерівностей (24) порушує одне з найважливіших умов, яким задовольняє більшість відомих видів матерії, а саме - світлове енергетичне умова. У загальному вигляді ця умова виражається нерівністю
,. (25)
У метриці (19) для светоподобного вектора
ця умова приймає вид
. (26)
Для тензора (20) воно записується у вигляді, в протилежність (24).
Матерія, що порушує світлове енергетичне умова, отримала назву екзотичною. Висновок про те, що саме така матерія необхідна для існування кротові нори, не обмежується статикою і сферичної симетрією і носить досить загальний характер: він справедливий для горловин довільної просторової конфігурації, як стаціонарних, так і залежних від часу [17,18].
Тепер скористаємося координатами кривизн, в яких метрику можна записати у вигляді
. (27)
Ототожнюючи метрики (21) і (27), нескладно переконатися, що на горловині, якщо вона існує, виконуються умови,,. Одне з рівнянь Ейнштейна має вигляд
(28)
і може бути проінтегрувати: при підстановці воно приймає вигляд і, отже,
, (29)
де - константа інтегрування. Функція m (r) називається масової функцією; у разі асимптотично плоскою конфігурації з регулярним центром вона дійсно дає масу Шварцшильда при інтегруванні від 0 до великих значень радіуса, де метрика наближено шварцшільдовскім.
У разі асимптотично плоскою кротові нори, інтегруючи в (29) від горловини до великих значень радіуса, отримуємо
, (30)
так як на горловині. Згадуючи, що є шварцшільдовскім радіус, відповідний масі m, приходимо до висновку, що радіус горловини кротові нори більше шварцшільдовскім радіуса, відповідного масі кротові нори на її плоскою асимптотиці, якщо щільність матерії, породжує нору, негативна і менше шварцшільдовскім, якщо щільність позитивна.
Це дійсно важливе обмеження: якщо ми хочемо отримати Кротова нору НЕ астрономічних масштабів, а з горловиною розміром порядку метрів або кілометрів, то доведеться враховувати, що метри і кілометри - це масштаб радіусів Шварцшильда для планетарних і зоряних мас (для Землі радіус Шварцшильда порядку 1 см, для Сонця - близько 3 км). Щоб гирлі кротові нори не володіло потужним полем тяжіння, відповідним масі зірки або планети, для побудови такої нори потрібна не просто екзотична матерія, а матерія з негативною щільністю.
.2.2 Кротячі нори із безмасовими скалярними полями
...
