исло і, то число - трансцендентно.
Теорема Ліндемана дозволяє будувати трансцендентні числа.
Приклади :
З теореми Ліндемана втекти, наприклад, що число ln 2 - трансцендентно, адже 2=e ln 2 , а число 2 - алгебраїчне і якщо б число ln 2 було алгебраїчним, то за лемою число 2 було б трансцендентним числом.
Взагалі, для будь-якого алгебраїчного, ln за теоремою Ліндемана є трансцендентним. Якщо ж трансцендентне, то ln не обов'язково трансцендентне число, наприклад ln e =1
Виявляється, ми ще в середній школі бачили масу трансцендентних чисел - ln 2 , ln 3 , ln () і т.п.
Відзначимо також, що трансцендентне являються числа виду,, для будь-якого ненульового алгебраїчного числа (по теоремі Ліндемана - Вейєрштрасса яка є узагальненням теореми Ліндемана). Наприклад, трансцендентними є числа,,.
Якщо ж трансцендентно, то,, не обов'язково трансцендентні числа, наприклад,,
Доведення теореми Ліндемана можна провести за допомогою тотожності Ерміта, аналогічно тому, як була доведена трансцендентність, з деякими ускладненнями в перетвореннях. Саме так її і доводив сам Ліндеман. А можна цю теорему доводити іншим шляхом, так як це робив радянський математик А.О. Гельфонд, ідеї якого привели в середині ХХ століття до вирішення Сьомий проблеми Гільберта.
У 1900 році на II Міжнародному конгресі математиків Гільберт в числі сформульованих ним проблем сформулював сьому проблему: «Якщо, чи вірно, що числа виду, де, - алгебраїчні і - ірраціонально є трансцендентними числами?» [6, стор. 15]. Ця проблема була вирішена в 1934 році Гельфонду, який довів, що всі такі числа дійсно є трансцендентними.
Доказ трансцендентності значень показовою функції, запропоноване Гельфонду, грунтується на застосуванні інтерполяційних методів [7, стор. 16].
Приклади:
1) На підставі теореми Гельфонда можна довести, наприклад, що число є трансцендентним, оскільки, якщо б воно було алгебраїчним ірраціональним, то, оскільки то число 19 за теоремою Гельфонда було б трансцендентним, що неправда.
2) Нехай a і b - ірраціональні числа. Чи може число a b бути раціональним?
Звичайно, з використанням сьомий проблеми Гільберта це завдання вирішити неважко. Справді, число - трансцендентне (оскільки - алгебраїчне ірраціональне число). Але всі раціональні числа є алгебраїчними, тому - ірраціональне. З іншого боку,
Отже, ми просто пред'явили такі числа:, Однак ця задача може бути вирішена і без будь-яких посилань на результат Гельфонда. Можна міркувати так: розглянемо число. Якщо е?? про число раціональне, то задача вирішена, такі a і b знайдені. Якщо ж воно ірраціональне, то візьмемо,, і.
Отже, ми пред'явили дві пари чисел a і b , таких що одна з цих пар задовольняє поставленому умові, але йому невідомо, яка саме. Але ж пред'явити таку пару і не вимагалося! Таким чином, це рішення в певному сенсі є теорему існування.
Висновок
Алгебраїчні і трансцендентні числа мають широке застосування в теорії чисел, алгебри, геометрії та інших розділах математики і не тільки математики, а всюди, де застосовуються числа взагалі. Вони дозволяють застосувати дослідження алгебри для практичних додатків. Вивчення алгебраїчних і трансцендентних чисел має велике значення в підготовці вчителя для середньої школи.
Вивчення властивостей алгебраїчних чисел становить зміст одного з найважливіших розділів сучасної теорії чисел, званого алгебраїчній теорією чисел. До цього розділу належать питання, пов'язані з вивченням різних класів алгебраїчних чисел.
Теорія трансцендентних чисел сформувалася як теорії, яка має свої специфічні методи і достатня кількість вже вирішених проблем, тільки в XX столітті. Окремі постановки проблем цієї теорії існували давно, і перша з них, наскільки нам відомо, належить Л. Ейлера. Проблема наближення алгебраїчних чисел раціональними дробами або, більш загально, алгебраїчними ж числами також може бути віднесена до теорії трансцендентних чисел, незважаючи на те, що вивчення наближення алгебраїчних чисел раціональними дробами стимулювалося проблемами теорії діофантових рівнянь.
Ця курсова робота може служити як навчальний посібник при вивченні теорії алгебраїчних і трансцендентних чисел при підготовці вчителів середньої школи.
У роботі введена суцільна нумерація теорем і визначень арабськими цифрами. Наведені приклади алгебраїчних чисел і дій над ними, дані з поясненнями і, в деяких випадках, з доказами.
Велике м...
