Кількість е трансцендентно.
Доказ. Доведемо це твердження від протилежного. Припустимо, що е - алгебраїчне число, ступеня m . Тоді
m e m + ... + a 1 e + a 0=0
для деякого натурального m і деяких цілих a m , ... a 1, a 0. Підставами в тотожність Ерміта (12) замість х ціле число k яке приймає значення від 0, до m ; помножимо кожне рівність
відповідно на a k , а потім всі їхні складемо. Отримаємо:
Так як (це наше противне припущення), то виходить, що для будь-якого многочлена f ( x ) повинно бути виконано рівність:
(13)
За рахунок відповідного вибору многочлена f ( x ) можна зробити ліву частину (13) ненульовим цілим числом, а права частина при цьому виявиться між нулем і одиницею.
Розглянемо многочлен, де n визначимо пізніше ( n N , і n велике).
Кількість 0 - корінь кратності n - 1 многочлена f ( x ), числа 1, 2, ..., m - коріння кратності n , отже:
f ( l ) (0)=0, l =1,2, ..., n - 2
f (n - 1) (0)=(- 1) mn ( m !) n
f ( l ) ( k )=0, < i align="justify"> l =0,1, ..., n - 1; k =1,2, ..., m
Розглянемо g ( x )= x n - 1 ( x - 1) n ( x - 2 ) n ... ( xm ) n - многочлен, схожий на f ( x ), але з цілими коефіцієнтами. За лемі 1, коефіцієнти g ( l ) ( x ) - цілі числа, що діляться на l !, отже, при l lt; n , у похідній g ( l ) ( x ) всі коефіцієнти - цілі числа, що діляться на n , тому g ( l ) ( x ) виходить з g (l) ( x ) поділом тільки на ( n - 1) !. Саме тому
де А - підходяще ціле число, а над знаком суми стоїть число ( m +1) n - 1 - степінь многочлена f ( x ) і, хоч підсумовувати можна і до безкінечності, ненульових похідних у f ( x ) саме стільки.
Аналогічно
де B k - підходящі цілі числа, k =1, 2, ..., m .
Нехай тепер n N - будь-яке ціле число, яке задовольняє умовам:
Знову розглянемо рівність (13):
У сумі зліва всі складові - цілі числа, причому a k F ( k ) при k =1, 2, ..., m ділиться на n , а a 0 F (0) на n не ділиться. Це означає, що вся сума, будучи цілим числом, на n не ділиться, тобто не є нуль. Отже,
Оцінимо тепер праву частину рівності (13). Ясно, що на відрізку [0; m ] і тому на цьому відрізку
Тоді:
де константи C 0 і C 1 не залежить від n . Відомо, що
тому, при досить великих n , права частина (13) менше одиниці і рівність (13) неможливо.
У 1882 році Ліндеман довів теорему про трансцендентність ступеня числа e з ненульовим алгебраїчним показником, тим самим довівши трансцендентність числа.
Теорема 8 (Ліндеман) [3, стор. 58]. Якщо - алгебраїчне ч...
