тупеня, тобто представимо його у вигляді e k (a k + a k +1 e + ... ), де a k вже відмінно від 0. Знак все ви-ражения визначається знаком виразу в дужках (при множенні на позитивне число знак не змінюється), а знак вираження в дужках (як ми вже бачили) визначається знаком числа a k . .
По суті, ми вже побудували шукане неархімедо-во розширення. Потрібно лише подивитися на наші міркування з іншого позиції. Досі вираження P (e)/Q (e) розглядалися нами як імена В«справжніхВ» гіпердействітельних чисел (взятих невідомо звідки). А тепер вони стануть самими гіпердействітельнимі числами. Розглянемо формальні вирази виду P (e)/Q (e), де e - деякий символ, P, Q - многочлени з дійсними коефіцієнтами, причому Q <> 0. Про-виголошуючи, що об'єктами, а в даному випадку гіпердействітельнимі числами, ми оголосимо імена, а в даному випадку висловлення, або запису виду P (e)/Q (e), ми були не зовсім точні. Справа в тому, що, очевидно, дві різні записи можуть виражати одне і те ж число (іншими словами, бути двома різними іменами одного і того ж числа): так, наприклад, природно вважати, що запис (e 2 -1)/(e-1) виражає те ж саме число, що і (e +1)/1. p> Будемо називати два вирази P (e)/Q (e) і R (e)/S (e) еквівалентними, якщо P (e) * S (e) = R (e) * Q (e) (рівність розуміється як рівність многочленів, т. е. як рівність коефіцієнтів при однакових ступенях). Легко перевірити, що це визначення дійсно задає відношення еквівалентності, розривання всі вирази виду P (e)/Q (e) на класи. Ці класи ми і будемо називати гіпердействітельнимі числами. Додавання, віднімання, множення і ділення гіпердействітельних чисел визначаються за звичайними правилам. Так, наприклад, якщо a - клас, що містить P/Q, а b - клас, що містить R/S , то їх сумою називається клас, містить (PS + RQ)/SQ, а твором - клас, що містить PR/QS . Легко перевірити, що це визначення коректно, тобто не залежить від вибору елементів P/Q в класі a і R/S у класі b (в результаті виходять різні представники одного і того ж класу). Аналогічним чином можна визначити взяття зворотного і протилежного, нуль і одиницю. Неважко перевірити, що всі аксіоми поля при цьому будуть виконані. Викладена конструкція добре відома в алгебрі: побудоване поле називається полем раціональних функцій з коефіцієнтами в R і позначається R (e).
Залишилося визначити лише порядок, вказавши, як вибрати з двох різних гіпердействітельних чисел (тобто з двох різних класів еквівалентних дробів) більша. Для цього потрібно відняти одне число з іншого і визначити, чи буде різниця (відмінна від нуля, оскільки числа різні) позитивною або негативною. Щоб визначити, чи буде відмінне від нуля число a позитивним чи негативним, візьмемо його представник P/Q . Тут P, Q відмінні від 0 (Q відмінно від нуля за визначенням, Р - тому що, за нашим припущенням, різниця не дорівнює 0). Винесемо в чисельнику і ...
