ункцію g (x), що mE (f В№ g)
Застосовуючи вже доведену частину теореми до функції g (x), ми знайдемо таку безперервну функцію y (x), що
В
Але легко бачити, що
E (| fy | Ві s) ГЊ E (f В№ g) + E (| gy | Ві s),
Так що функція y (x) вирішує задачу.
Слідство. Для всякої вимірної і майже скрізь кінцевої функції f ( x ), заданої на сегменті [ a , b ], існує послідовність безперервних функцій y n ( x ), що сходиться по мірі до функції f ( x ).
Справді, взявши дві прагнуть до нуля послідовності
s 1 > s 2 > s 3 > ..., s n В® 0,
e 1 > e 2 > e 3 > ..., e n В® 0,
побудуємо для кожного n таку безперервну функцію y n (x), що
mE (| fy n | Ві s n ) n
Легко бачити, що y n (x) Гћ f (x).
Дійсно, яке б s> 0 ні взяти, для n Ві n 0 буде s n В
звідки і слід наше твердження.
Застосувавши до послідовності {y n (x)} теорему Ф. Рісса ми приходимо до послідовності безперервних функцій {y nk (x)}, яка сходиться до функції f (x) майже скрізь.
Інакше кажучи встановлена ​​
Теорема 3 (М.Фреше). Для всякої вимірної і майже скрізь кінцевої функції f ( x ), заданої на сегменті [ a , b ], існує послідовність безперервних функцій, сходиться до f ( x ) майже скрізь.
За допомогою цієї теореми легко встановлюється вельми чудова і важлива
Теорема 4 (Н. Н. Лузін). Нехай f ( x ) вимірна і майже скрізь кінцева функція, задана на [ a , b ]. Яке б не було d > 0, існує така неперервна функція j ( x ), що
mE ( f В№ j ) /i> d
Якщо, зокрема, | f ( x ) | < i> ВЈ K , то й | j ( x ) | ВЈ K .
