Е 3 , ... Вимірні. Якщо В В
і якщо сума обмежена, то
[ mE n ].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко бачити, що безліч Е можна представити у формі
Е = Е 1 + (Е 2 - Е 1 ) + (Е 3 - Е 2 ) + (Е 4 - Е 3 ) + ...,
де окремі доданки попарно не перетинаються. Звідси, в силу теорем 4 і 8, випливає, що
В
На підставі самого визначення суми нескінченного ряду, остання рівність можна переписати так
{
а це рівносильно теоремі, бо
mE 1 + = mE n
Теорема 12. Нехай E 1 , E 2, E 3 , ... суть вимірні множини, і Е =. Якщо то
mE = lim .
Д про до а із а т е л ь с т в о. Цю теорему легко звести до попередньої. Дійсно, позначивши через D який-небудь інтервал, містить безліч Е 1 , ми будемо мати
..., C D E =. p> У силу теореми 11 ми отримуємо, що
m (С D E) =
що можна представити і так:
mD - mE =
а це рівносильно теоремі.
Вимірність і міра як інваріанти руху
Нехай дано дві множини А і В, складаються з об'єктів будь-якої природи. Якщо вказано правило, яке кожному елементу а безлічі А ставить у відповідність один і тільки один елемент b множини В, то говорять, що встановлено однозначне відображення множини А в множину В. При цьому не передбачається, що кожен елемент множини В виявляється співвіднесеним якомусь елементу з А. Поняття відображення є пряме узагальнення поняття функції. У зв'язку з цим елемент b ГЋ У, що відповідає елементу а ГЋ A, часто позначають через f (а) і пишуть b = f (а). p> Якщо b = f (а), то ми будемо називати елемент b чином елемента а, а елемент а прообразом елемента b. При цьому один елемент b може мати кілька прообразів.
Нехай А * є частина множини А, а В * є безліч образів всіх елементів А * (інакше кажучи, якщо аГЋА *, то f (а) ГЋВ *, і якщо bГЋВ *, то існує хоч один елемент аГЋА * такий, що f (а) = b). У такому випадку безліч В * називається чином безлічі А *, що записують так: В * = f (А *).
При цьому безліч А * називається прообразом множини В *. p> Встановивши ці загальні поняття, перейдемо до розгляду одного важливого спеціального виду відображень. p> Визначення 1. Однозначне відображення j (х) числової прямої Z в себе називається рухом, якщо відстань між образами будь-яких двох точок прямої дорівнює відстані між самими цими точками:
ВЅ j (х) - j (y) ВЅ = ВЅ х - Y ВЅ. p> Інакше кажучи, рухом називається таке в...
