кож як e скільки завгодно мало, то
m * E = m * E.
Теорема 6. Перетин кінцевого числа вимірних множин вимірюється.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Нехай E =, причому безлічі E k вимірні. Назо вем через D який-небудь інтервал, містить всі множини E k . Легко перевірити, що C D E =. p> Але безлічі З E k вимірні одночасно з множинами E k , звідки, в силу теореми 5, слід вимірність множини C D E, а з ним і множини E, що й потрібно було довести. p> Теорема 7. Різниця двох вимірних множин вимірна.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Нехай E = E 1 - E 2 , де безлічі E 1 і E 2 вимірні. Назвемо через D-небудь інтервал, що містить обидва безлічі E 1 і E 2 . Тоді E = E 1 В· C D E 2 і справа зводиться до попередньої теоремі. p> Теорема 8. Якщо в умовах теореми 7 буде E 1 E 2 , то
ME = mE 1 - mE 2 .
Д про до а із а т е л ь с т в о. Очевидно E 1 = E + E 2 (EE 2 = 0), звідки, в силу теореми 4, mE 1 = mE + mE 2 , що рівносильно теоремі.
Теорема 9. Якщо обмежене безліч E є сумою рахункового безлічі вимірних множин, то E вимірюється.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Нехай E =. p> Введемо безлічі A k (k = 1, 2, ...), вважаючи
A 1 = E 1 , A 2 = E 2 -E 1 , ..., A k = E k - (E 1 + ... + E k-1 ) , ...
Легко перевірити, що. При цьому всі множини A k вимірні і попарно не перетинаються (в останньому вся суть докази), так що справа звелася до теореми 4.
Умова обмеженості множини Е (яке в теоремі 5 виконувалося само собою) відкинути не можна, як видно хоча б з прикладу Е k = [0, k], де сума k = [0, +) безмірна. p> Теорема 10. Перетин рахункового безлічі вимірних множин вимірюється.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Нехай k , де все безлічі Е k вимірні. Так як Е Е 1 , то безліч Е обмежена. Позначимо через D який-небудь інтервал, що містить це безліч, і покладемо А k = D Е k (k = 1, 2, 3, ...). h1> Тоді
k = k ) = k .
Легко перевірити, що, і справа зводиться до теорем 3 і 9.
На закінчення встановимо дві теореми, які відіграють важливу роль в теорії функцій.
Теорема 11. Нехай безлічі Е 1 , Е 2 , ...
