ідображення множини Z в безліч Z, яке не змінює відстаней між точками Z.
У визначення поняття руху не включено вимогу, щоб кожна точка Z cлужіла чином небудь точки, а також вимога, щоб різні точки Z мали різні ж образи. Однак обидва ці обставини мають місце. Переконаємося в цьому поки для одного з них.
Теорема 1. Нехай j ( х) є рух. Якщо х В№ y , то j ( х) В№ j ( y ).
Дійсно, в цьому випадку ВЅ j (Х) - j (y) ВЅ = ВЅ х - Y ВЅ В№ 0. p> Теорема 2. a ) Якщо А ГЊ В, то j ( А) ГЊ j ( В).
b )
c )
d ) Якщо L порожній безліч, то j (L) = L
Доказ надається читачеві; вкажемо лише на те, що при доказі с) використовується теорема 1.
Легко перевірити, що наступні три відображення є рухами:
I . j ( х) = х + d (зрушення),
II . j ( х) = - х (дзеркальне відображення),
III . j ( х) = - х + d .
Надзвичайно важливим є те, що цими трьома (власне - двома, бо III охоплює II) типами вичерпуються всі можливі руху в Z.
Теорема 3. Якщо j ( х) є рух, то або
j ( х) = х + d ,
або
j ( х) = - х + d .
Д про до а із а т е л ь с т в о. Покладемо, j (0) = d. Тоді для всякого х буде | j (х) - d | = | х | і, стало бути,
j (х) = (-1) s ( х) х + d [s (х) = 0, 1].
Функція s (х) визначена для всякого х В№ 0. Нашим завданням є встановлення того, що s (х) є постійна величина.
Нехай x і y дві точки, причому x В№ 0, y В№ 0, x В№ y. Тоді
j (x) - j (y) = (-1) s ( x ) x - (-1) s ( y ) y,
або
j (x) - j (y) = (-1) s ( x ) [ x - (-1) r y],
де r = s (y) - s (x) має одне з трьох значень r = 1, 0, -1.
Користуючись визначенням руху, можна стверджувати, що
| x - (-1) r y | = | x - y |.
Звідси, або x - (-1) r y = x - y, або ж x - (-1) r y =-x + y.
Але другий випадок неможливий, бо він призводить до того, що
2x = y [1 + (-1) r ], звідки (при r = В± 1) x = 0, або (при r = 0) x = y, а це суперечить умові. p> Значить, залишається перший випадок, який дає, що r = 0, тобто s (x) = s (y).
Значить, для всіх x В№ 0 функція s (x) має одне і те ж значення
