i> 1 і 2 , то мають місце співвідношення (1.15) і (1.16) (оптимальність розуміється в сенсі швидкодії).
Ця теорема і становить сутність методу динамічного програмування для розглянутої задачі. Цю теорему можна сформулювати і трохи інакше. Написавши співвідношення (1.16)
Для t = t 0 , отримаємо B ( x 0 , u ( t 0 )) = 1, тобто для будь-якої точки x 0 (відмінною від x 1 ) знайдеться в U така точка u ( а саме u = u ( t 0 )), що B ( x 0 , u ) = 1. У зіставленні з нерівністю (1.15) отримуємо співвідношення
для будь-якої точки x в‰ x 1 . (1.16 * )
Метод динамічного програмування (1.15), (1.16) (або, що те ж саме, (1.16 * ), (1.16)) містить деяку інформацію про оптимальні процесах і тому може бути використаний для їх розвідки. Однак він має ряд незручностей. По-перше, застосування цього методу вимагає знаходження не тільки оптимальних управлінь, але і функції П‰ ( x ), так як ця функція входить до співвідношення (1.15) в”Ђ (1.16 * ). По-друге, рівняння Беллмана (1.16 * ) (або співвідношення (1.15), (1.16)) являє собою рівняння в приватних похідних щодо функції П‰ , ускладнене до того ж знаком максимуму. Зазначені обставини сильно ускладнюють можливість користування методом динамічного програмування для відшукання оптимальних процесів у конкретних прикладах. Але найголовнішим недоліком цього методу є припущення про виконання гіпотез 1 і 2. Адже оптимальні управління і функція П‰ нам заздалегідь не відомі, так що гіпотези 1 і 2 містять припущення про невідомої функції, і перевірити виконання цих гіпотез за рівняннями руху об'єкта неможливо. Цей недолік можна було б рахувати не особливо істотним, якщо б після рішення оптимальної завдання цим методом виявилося, що функція П‰ ( x ) дійсно є безперервно диференціюється. Але справа полягає в тому, що навіть у найпростіших, лінійних задачах оптимального управління функція П‰ ( x ) не є, як правило, всюди дифференцируемой. Тим не менш, методом динамічного програмування можна нерідко користуватися як цінним евристичним засобом.
6. Принцип максимуму. Продовжимо тепер міркування попереднього пункту, припустивши функцію П‰ ( x ) вже двічі безперервно диференціюється (Всюди, крім точки x 1 ). Отже, будемо припускати, що виконана наступна
Г і п о т е з а 3. функція П‰ ( x ) має при x в‰ x 1 другі безперервні похідні i, j = 1,2, ..., n , ...
