і операції. Як показали роботи, проведені під керівництвом П.Я. Гальперіна, Н.Ф. Тализіна, ці прийоми не розвиваються повноцінно без цілеспрямованого навчання. Згідно Ж. Піаже, число - це синтез трьох логічних операцій: збереження, класифікації та операції, які і повинні бути сформовані попередньо у дітей, приступають до вивчення математики. Згідно В.В. Давидову, синтез цих операцій не відбувається без спеціального навчання. В основі цього синтезу лежить специфічна дія дитини, пов'язане з пошуком кратного відносини величин в умовах їх опосередкованого зрівнювання. У процесі здійснення цієї дії і виникає синтез класифікації та операції і на його основі справжнє поняття числа.
Дослідження, проведені під керівництвом П.Я.Гальперина, показали, що в основі помилкових рішень задач на збереження лежить невміння розрізняти властивості об'єктів, невміння їх виділяти. Навчання дітей зору розрізняти властивості об'єктів показує, що необхідно розширити набір ознак і не обмежуватися виділенням довжини, ширини, висоти, форми, кольору, площі і маси, включаючи топологічні характеристики, несуттєві властивості об'єктів [9, 112]. Логічна пропедевтика передбачає формування розуміння і використання деяких аксіом для опису величин (В.Ф. Каган) [4, 18].
а) якщо А=В, то В=А;
б) якщо А> В, то В < А;
в) якщо А=В і В=С, то А=С;
г) якщо А < В і В < С, то А < С;
д) якщо А> В і В> С, то А> С.
Перші дві аксіоми відображають найважливіша властивість величин - порівнянність будь-яких двох з них. Так, наприклад, завжди можна порівняти ширину дошки і шафи або довжину двох смужок паперу. Порівняння двох величин без залучення третіх предмета називається безпосереднім. У більшості випадків безпосереднє порівняння ускладнене або неможливе. У цій ситуації необхідне залучення третього предмета.
Наступні три аксіоми і відображають цю можливість, вони є математичним виразом опосередкованого порівняння величин, тобто порівняння величин А і С за допомогою величини В. Однак поняття «величина» розкривається не тільки через відношення порівняння, але і через зв'язок цього відносини з операцією складання. Подальше уточнення аксіоматики було дано А. Н. Колмогоровим [23, с.151-152]:
е) для будь-яких двох величин А і В існує величина С=А + В;
ж) А + В=В + А;
з) (А + В) + С=А + (В + С);
і) А + В> А;
к) якщо А> В, то існує одна і тільки одна величина С, для якої В + С=А (можливість віднімання).
Незважаючи на гадану очевидність цих аксіом, розкриття їх змісту вимагає спеціального відпрацювання.
Отже, логічні операції включають в себе ряд умінь: виділяти ознаки об'єктів при зміні їх в ряду предметів, фігур; вибудовувати ряди об'єктів по змінюється ознакою; будувати фігури відповідно до виділеного принципом зміни фігур в рядах; утворювати класи об'єктів, розуміти і використовувати аксіоми величин. Типи завдань (див. Додаток 2) формують даний ряд умінь і допомагають зробити доступними найважливіші математичні поняття і дії, що визначають надалі зміст моделювання і розв'язання завдань. Встановлення відносин еквівалентності між об'єктами, множинами об'єктів передбачає ...
