истему на місце невідомих звертає всі рівняння у вірні рівності. Якщо система має хоча б одне рішення, то вона є спільною, і несумісною, якщо у неї не існує жодного рішення. Хоча безпосередній геометричне тлумачення системи, що містить більше трьох невідомих, вже неможливо, однак колишній геометричний мову зберігається, якщо розглянути дану систему в n-вимірному координатному векторному просторі Аn (див. Приклад 3 § 2 Глави 1).
За аналогією зі звичайною площиною безліч всіх n-мірних векторів, що задовольняють одному лінійному рівнянню з n невідомими, називають гиперплоскостью в n-вимірному просторі. При такому визначенні безліч всіх рішень системи є не що інше, як перетин кількох гіперплоскостей.
Також гіперплоскость визначають як підпростір з розмірністю, на одиницю менший, ніж осяжний простір. У загальному випадку рівняння гіперплощини, що проходить через точку Х з координатами (Х1, Х2, ... Хn), в n-вимірному евклідовому векторному просторі можна записати як рівність: (N, x)=(N, X), де N (? 1 ,? 2, ...? n) - вектор, ортогональний (нормальний) до гіперплощини. Гіперплоскость ділить простір на два півпростору, всі крапки кожного з них визначаються нерівностями.
У подібному сенсі можна говорити і про довільних поверхнях або областях в n-вимірному просторі, розуміючи під ними безліч векторів, що задаються одним або декількома рівняннями, або нерівностями, не обов'язково лінійними. Так, гіперповерхонь називається безліч точок, координати яких задовольняють одному равнению F (x1, x2, ..., xn)=0 з n невідомими. Найпростішим після площині прикладом гіперповерхні є сфера радіуса R в n-вимірному просторі - безліч точок, координати яких задовольняють рівняння.
2.2 Лінійне програмування: завдання на оптимізацію і симплекс-метод
Лінійне програмування (коротко ЛП) - порівняно недавно виник розділ прикладної математики, теоретичною базою якого є якраз лінійна алгебра. Лінійне програмування застосовно до вирішення багатьох завдань оптимізації, часто виникають на практиці, насамперед в економічній діяльності суб'єктів. Так, за допомогою методів ЛП можна вирішувати задачі складання оптимального плану виробництва з точки зору максимізації прибутку або мінімізації витрат, завдання з організації транспортних перевезень (транспортні завдання), завдання вибору інвестиційних проектів або формування інвестиційних портфелів і багато інших.
У всіх зазначених вище прикладах існує величина, що кількісно характеризує мету і звана цільовою функцією (прибуток, витрати, транспортні витрати, прибутковість портфеля цінних паперів і т.д.). За умовами задачі потрібно, щоб цільова функція досягла свого мінімуму або максимуму. Цільова функція залежить від якихось величин, які називають змінними рішення або невідомими. Пошук оптимальних рішень здійснюється за наявності цілком певних обмежень на зміни змінних рішення.
Наприклад, розглянемо завдання про раціональне постачанні заводу залізною рудою. Руда може доставлятися на завод з n пунктів видобутку. При цьому, ci - вартість видобутку однієї тонни руди на i-й шахті і її доставки на завод, bi - обсяг видобутку на i-й шахті, b - потреба заводу в руді. Споживач прагне зменшити витрату на придбання сировини. Якщо xi - кількість руди (в тоннах), яке буде доставлятися з i-й шихти, то цей витрата в сумі складе L=- цільова функція.
Потрібно врахувати при цьому, що невідомі xi зобов'язані задовольняти ряду обмеже...
