nen)=b1A (e1) + b2 A (e2) + ... + bnA (en) == b1 + b2 + ... + bn=(e1 + (e2 + ... + (en
В матричної формі це можна виразити так: щоб отримати координати образу, потрібно матрицю перетворення помножити на стовпець вектора b:
А? =
Крім множення перетворень, що визначається звичайним чином як композиція, мають сенс операції їх додавання і множення перетворення на число. Сумою перетворень А і В називається таке перетворення А + В, що (А + В) (а)=А (а) + В (а) для будь-якого елемента а з безлічі V. Відповідним чином визначається і множення на скаляр (? А) (а) =? А (а) для будь-якого елемента а з безлічі V.
Можна переконатися, що є повна паралель між зазначеними операціями над лінійними перетвореннями і відповідними операціями над їх матрицями. Так, твір матриць служить матрицею твори відповідних перетворень, аналогічно і для операцій додавання і множення на скаляр.
При розгляді лінійних перетворень зазвичай виділяють різні їх класи, що володіють деякими додатковими властивостями. Так, один з найважливіших класів складають, так звані, ортогональні перетворення евклідового простору. При такому перетворенні зберігається незмінною довжина будь-якого вектора з V:? А (а)? =? А?.
У разі площині і тривимірного простору перетворення цього типу вичерпуються поворотами і дзеркальними симетріями. Ці та інші типи лінійних перетворень широко використовуються в багатьох математичних і прикладних питаннях.
2. Деякі програми апарату векторних просторів
.1 Системи лінійних рівнянь. гіперплоскостей, гіперповерхні
Історично першим питанням лінійної алгебри було питання про лінійних рівняннях. Побудова теорії систем лінійних рівнянь зажадало таких інструментів, як теорія матриць і визначників, і зробило істотний вплив на розробку теорії векторних просторів.
У даній роботі ми не будемо зупинятися на конкретних методах вирішення систем лінійних рівнянь, так як це передбачає проведення окремого масштабного дослідження. Разом з тим невеликий огляд систем лінійних рівнянь дозволить ще раз підкреслити спільність геометричних фігур і їх багатовимірних аналогів, в тому числі ввести такі поняття як гіперплощини і гіперповерхні.
При вирішенні геометричних задач методом координат, як правило, виникають системи лінійних рівнянь з двома або трьома невідомими. Наприклад, для відшукання точки перетину двох прямих на площині доводиться вирішувати систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:
де кожне з рівнянь визначає пряму на площині, а рішення (дає координати точки перетину прямих, або радіуса-вектора цієї точки. Аналогічно і в системі лінійних рівнянь з трьома невідомими кожне рівняння можна інтерпретувати як рівняння площини в просторі, а всяке рішення (такої системи як точку або вектор в просторі з вказаними координатами.
У загальному випадку система m лінійних рівнянь з n невідомими (або, коротко, лінійна система) має наступний вигляд:
Зазначена вище система називається однорідною, якщо всі її вільні члени, i=1,2, ... m. Якщо хоча б один з вільних членів відмінний від нуля, то система називається неоднорідною. Система називається квадратної, якщо число рівнянь дорівнює числу невідомих (m=n). Рішенням системи називається така сукупність n чисел
(C1, c2, ..., cn,) яка при підстановці в с...
