чи формулу, отримаємо:. Тепер нам потрібно знайти, для цього розглянемо:, з ??іншого боку за правилом Лейбніца
(а)
(б)
(в)
Просуммируем (а) і (б) і віднімемо (в), враховуючи, що:
, тоді
(1)
(2)
(1) - символи Крістоффеля I роду,
(2) - символи Крістоффеля II роду.
Геодезична кривизна кривої на поверхні.
Геодезичні лінії.
Розглянемо криву на поверхні і вектор кривизни в деякій точці цієї кривої. Спроеціруем вектор кривизни на дотичну площину до поверхні в даній точці Р. Позначимо через проекцію вектора кривизни на дотичну площину в точці Р.
Визначення: геодезичної кривизною називається модуль проекції вектора кривизни на дотичну площину.
.
Розглянемо проекцію вектора кривизни на дотичну площину. Нехай крива задана як, тоді
,
?- Дотичний вектор кривої в точці Р, по теоремі про три перпендикулярів, випливає, що.
,
тоді
,
,
.
,.
,
, але,
тоді
Геодезичні лінії на поверхні.
Визначення: лінія на поверхні, в кожній точці якої, називається геодезичної лінією.
Твердження: в кожній точці геодезичної лінії вектор кривизни цієї лінії спрямований вздовж нормалі до поверхні в цій точці.
Доказ:
, в силу визначення геодезичної лінії, в кожній
точці, тоді, як видно з малюнка,.
, за визначенням геодезичної лінії, тоді все в будь-якій точці геодезичної лінії, отже:
- рівняння геодезичної лінії.
Геодезичною лінією на поверхні є лінія найменшого відстані між точками.
Приклад: на сфері геодезичної лінією є будь-яка окружність найбільшого радіуса, тобто окружності, що не збігаються з екватором, не є геодезичними лініями, а всі меридіани - геодезичні лінії.
Література
1.Шаріпов Р.А. Курс диференціальної геометрії: навчальний посібник для вузів.- Уфа, 1996.
2.І.П. Натансон Короткий курс вищої математики.- 1999.
