ацію про об'єкт з найменшою витратою праці, а також представити цю інформацію в компактній формі з кількісною оцінкою точності.
Нехай нас цікавить властивість (Y) об'єкта залежить від декількох незалежних змінних (X1, X2 ,, ..., Xn) і ми хочемо з'ясувати характер цієї залежності - Y=F (X1, X2 ,, ..., Xn), про яку ми маємо лише загальне уявлення. Величина Y - називається «відгук», а сама залежність Y=F (X1, X2 ,, ..., Xn) - «функція відгуку».
Регресійний аналіз функції відгуку призначений для отримання її математичної моделі у вигляді рівняння регресії
Y=F (X1, X2 ,, ..., Xn; B1, B2 ,, ..., Bm) + e,
де B1, B2 ,, ..., Bm - деякі коефіцієнти; e - похибка.
Функція відгуку може бути виражена через кодовані фактори Y=f (x1, ..., xn) і записана в поліноміальному вигляді
Очевидно, що Bi? bi, але
Y=F (X1, ..., Xi, ..., Xn)=f (x1, ..., xi, ..., xn).
Для полінома, записаного в кодованих факторах, ступінь впливу факторів або їх поєднань на функцію відгуку визначається величиною їхнього коефіцієнта bi. Для полінома в іменованих факторах величина коефіцієнта Bi ще не може бути записана більш компактній формі
.
При визначенні загального числа членів статечного ряду кількість парних поєднань для n факторів у поліномі, потрійних поєднань, i-их поєднань (Cin) при n gt; i знаходиться за співвідношенням
.
Наприклад, для набору чотирьох чисел (n=4) - 1, 2, 3, 4 число потрійних поєднань становить
- 123, 134, 124, 234.
Якщо вважати, що існує фактор х0 завжди рівний 1, то
Якщо додатково всі подвійні, потрійні і т.д. поєднання чинників, а також квадрати факторів і всі відповідні і коефіцієнти позначити через xi і bi, для i=n + 1, ..., m, то степеневий ряд можна записати у вигляді
Тут m + 1 загальне число розглянутих членів статечного ряду.
Для лінійного полінома з урахуванням всіх можливих поєднань факторів
Повний квадратичний поліном виглядає наступним чином:
де
Матричні перетворення при обробці результатів експерименту. При матичного записи результатів різних N дослідів для полиномиального представлення результату
матимемо у вигляді
Y=X? B
де x - матриця сполученьфакторів
X=
N рядків і m + 1 стовпець
Тут 0,1, ..., i, ..., m - номери членів рівняння; I, ..., U, ..., N ... - номери дослідів. Матриця Х елементи x0U=1, U=1, ..., N, то матрицю Х можна записати
Х =.
матриця стовпець результатів досвіду,
- матриця стовпець коефіцієнта полінома.
Домножим ліву і праву частини цього рівняння на одну і ту ж матрицю Xt - транспоновану матрицю Х
Xt? X? B=Xt? Y.
Транспонована матриця - це матриця, у якої по відношенню до вихідній матриці стовпці і рядки поміняні місцями.
Xt=
Малюнок 14. Алгоритм побудови керуючої моделі
m + 1 рядок і N стовпців.
C=Xt? X матриця, що вийшла в результаті твори траспонірованной матриці на вихідну. Вона є квадратною матрицею, що містить m + 1 рядок і m + 1 стовпець.
C? B=Xt? Y.
Для того щоб отримати в загальному вигляді матрицю-стовпець коефіцієнтів В необхідно домножити обидві частини останнього матричного рівняння зліва на матрицю С - 1 - матрицю зворотну матриці С.
C - 1? C? B=C - 1? Xt? Y.
Зворотній матриця будується так (використовується процедура звернення матриці), що при множенні її на вихідну матрицю виходить одинична матриця - Е, у якої на головній діагоналі розташовані 1, а поза нею - 0.
С - 1? С=Е=
Остаточна в загальному вигляді матриця-стовпець коефіцієнтів полінома
B=C - 1? Xt? Y.
Розглянемо в якості простого прикладу поліном у вигляді
YU=b0x0 + b1xU; x0=1; U=1, ..., N;
формованого за результатами N дослідів
X=Y=B=Xt == Xt? X=;? B =? Y =? B=Xt? Y;
або
Звідки рішення системи щодо коефіцієнтів b0 і b1
Цей результат повністю співпаде з співвідношеннями для такого ж полінома при використанні методу найменших квадрантів, де використовується чисельний показник мінімальності суми квадрантів відхилень у всіх N дослідах. Отже, побудований таким чином поліном буде проходити самим найближчим чином до результатів експерименту.
Існують декілька видів планування експерименту:
ортогональн...
