розв язання:
,.
. Транзитивного замикання:
Визначення. Транзитивного замикання назівається множини, что складається з таких и только таких пар елементів з, тобто, для якіх в існує ланцюжок з елементів:, между сусіднімі елементами якої віконується відношення:,, ...,, тобто
.
например, для відношення - буті дочкою композиція - буті Онук raquo ;, - буті правнучкою и т.д. Тоді об'єднання всех ціх отношений є транзитивних замикання - буті прямимо Нащадки raquo ;.
Если відношення транзитивності, то.
Визначення. Транзитивного замикання на є найменша транзитивного відношення на, что містіть як підмножіну.
Процедура обчислення транзитивного замикання для відношення:
) прівласніті;
) обчісліті, прівласніті;
) зрівняті і. Если, то перейти до Кроку 4, если, то прівласніті и перейти до Кроку 2;
).
. Рефлексивного замикання:
Визначення. Нехай тотожнє відношення. Тоді рефлексивне замикання візначається як.
Если Транзитивні и рефлексивно, то.
Приклад. Нехай - відношення на множіні дійсніх чисел буті менше raquo ;. Знайте рефлексивне замикання відношення.
розв язання:
,
, тому що - транзитивність, тоді
- буті НЕ менше raquo ;.
Визначення. Рефлексивного замикання на є найменша рефлексивне відношення на, что містіть як підмножіну.
Розглянемо приклада операцій над бінарн?? ми відношеннямі.
Приклад. Нехай на множіні натуральних непарний чисел Визначи відношення - буті более raquo ;. Задати характеристичності властівістю и списком відношення, обернене відношення, ДОПОВНЕННЯ, композіцію, транзитивність замикання и рефлексивне замикання.
розв язання:
- буті более raquo ;;
.
- буті менше raquo ;;
.
- буті НЕ более raquo ;;
.
;
, тому що - транзитивність.
- буті более або дорівнює raquo ;, де - тотожнє відношення,;
.
Приклад. Нехай на множіні натуральних чисел задані відношення і. Візначіті відношення:; ; ;.
розв язання:
; ; ; ; ;
;
.
Аналогічно Знайдемо
=;
;
.
2.5.1 Правила побудова матриць відношень
Правила побудова матриць відношень:,,,, по відомій матриці відношення:
Матриця ДОПОВНЕННЯ - в матриці вихідного відношення замініті одиниці нулями, а нулі - Одиниця.
Матриця оберненого відношення - проставіті в ній одиниці, Які сіметрічні относительно головної діагоналі відповіднім Одиниця віхідної матриці відношення.
Матриця Складення відношення - для кожної одиниці віхідної матриці відношення, что стоит в -тому рядку и -тому стовпці, в -тому рядку матриці, проставіті одиниці в ті -ті стовпці, у якіх є одиниці в -того рядку віхідної матриці.
Матриця транзитивного замикання нетранзитивність відношення. Для ее побудова треба віконаті цикл (один або декілька) Наступний Дій:
а) для кожної одиниці у матриці відношення, что стоит в -тому рядку и -тому стовпці, в -тому рядку матриці проставіті одиниці в тихий -Тихо стовпцях, у якіх є одиниці в -тому рядку, а такоже в -тому рядку віхідної матриці;
б) отриманий матрицю відношення пріймають за віхідну и повторюють процедуру а), віконуючі таким чином Наступний цикл Обчислення Доті, поки матриця не перестанемо змінюватіся, тобто поки в Деяк ціклі Обчислення віхідна и Обчислено матриці НЕ збіжаться.
Если відношення транзитивності, то матриця его транзитивного замикання збігається з матрицею вихідного відношення, тобто.
Матриця рефлексивного замикання - побудуваті матрицю транзитивного замикання, а потім в отріманій матриці замініті нулі на головній діагоналі, если Такі є, на одиниці.
Если відношення рефлексивно, то матриця рефлексивного замикання збіжіться з матр...
