малою величиною. p> Можна управляти процесом навчання, вибираючи при кожному t значення функції u (t) з відрізка [0; 1]. Розглянемо два завдання. p> 1. Як можливо швидше досягти заданого рівня знань x1 і умінь y 1 ? Іншими словами, як за найкоротший час перейти з точки фазової площини (x 0 ; y 0 ) в точку (x 1 ; y 1 )?
2. Як швидше досягти заданого обсягу знань, тобто вийти на пряму x = x 1 ?
Двоїста завдання: за заданий час досягти якомога більшого обсягу знань. Оптимальні траєкторії руху для другого завдання та двоїстої до неї збігаються (подвійність розуміється в звичайному для математичного програмування сенсі). p> За допомогою заміни змінних z = k 2 x, w = k 1 k 2 y перейдемо від системи (1) - (2) до більш простій системі диференціальних рівнянь, що не містить невідомих коефіцієнтів:
. (3)
(Описана лінійна заміна змінних еквівалентна переходу до інших одиницям вимірювання знань і умінь, своїм для кожного учня.)
Розв'язки завдань 1 і 2, тобто найкращий вид управління u (t), знаходяться за допомогою математичних методів оптимального управління, а саме, за допомогою принципу максимуму Л.С.Понтрягина. У задачі 1 для системи (3) з цього принципу випливає, що якнайшвидший рух може відбуватися або по горизонтальних (u = 1) і вертикальним (U = 0) прямим, або за особливим рішенням - параболі w = z2 (u = 1/3). При рух починається по вертикальної прямої, при - по горизонтальній, при - по параболі. По кожній з областей {z 2 > w} і {z 2 Використовуючи теорему про регулярне синтезі, можна показати, що оптимальна траєкторія виглядає наступним чином. Спочатку треба вийти на В«магістральВ» - дістатися до параболи w = z 2 по вертикальній (u = 0) або горизонтальній (u = 1) прямій. Потім пройти основну частину шляху по магістралі (u = 1/3). Якщо кінцева точка лежить під параболою, дістатися до неї по горизонталі, зійшовши з магістралі. Якщо вона лежить над параболою, заключний ділянка траєкторії є вертикальним відрізком. Зокрема, у разі оптимальна траєкторія така. Спочатку треба вийти на магістраль - дістатися по вертикальній (u = 0) прямій до параболи. Потім рухатися по магістралі (u = 1/3) від точки до точки. Нарешті, по горизонталі (u = 1) вийти в кінцеву крапку.
У задачі 2 з сімейства оптимальних траєкторій, що ведуть з початкової точки (z0; w0) у точки променя (z1; w1), w0 0 (z 1 - Z 0 ), траєкторія складається з вертикального і горизонтального відрізків. При z 1 > 2z0 оптимально, траєкторія проходить по магістралі w = z 2 від точки до точки. Чим більшим обсягом знань z
