y + 2z = 0, (28)
а інші рівняння відкидаємо. Цьому рівняння задовольняє, наприклад, вектор (1, -1, 0). Якщо ми скористаємося таким вектором, то отримаємо після заміни рівняння виду (22). Після цього буде потрібно вирішувати проблему додаткової заміни координат. Наша мета: зробити заміну координат так, щоб після заміни в рівнянні не залишилося координати x Вў або координати y Вў (оскільки в квадраті у нас буде тільки одна координата z Вў). Якщо координати вектора (x, y, z) будуть задовольняти додатковій умові a1x + a2y + a3z = 0, то після заміни в рівнянні не залишиться x Вў, а якщо цій умові будуть задовольняти координати, то після заміни не залишиться y Вў. У нашому випадку дана умова виглядає так: 4x + 2y = 0. Тому координати вектора будемо шукати з системи
В
Звідси (2, - 4, 1). Вектор (x, y, z) повинен задовольняти умові (28), а також повинен бути ортогонален, тобто (X, y, z) В· (2, - 4, 1) = 0. Отже, координати (x, y, z) ми шукаємо з системи
В
Звідси (3, 1, -2). Тепер нормуємо знайдені власні вектори, і результат оформляємо таким чином. br/>
l1 = 0, (2, - 4, 1),,
l2 = 0, (3, 1, -2),,
l3 = 6, (1, 1, 2),.
Вираз старих координат через нові ми можемо виписати відразу, не складаючи матриці переходу.
В
Квадратичне частина рівняння в нових координатах ми виписуємо відразу, а в лінійну частину необхідно зробити підстановку.
6z Вў 2 + 8 + 4 - 5 = 0,
6z Вў 2 + y Вў + z Вў - 5 = 0 Г› 3z Вў 2 + y Вў + z Вў - 2,5 = 0,
Виділимо по z Вў повний квадрат:
3 - + y Вў - 2,5 = 0,
32 - + y Вў - 2,5 = 0,
32 + = 0,
Робимо заміну координат:
В
яка означає перенесення початку координат в точку O Вў (0,, -) Ox Вў y Вў z Вў. p> В результаті отримуємо рівняння
3 (z ВІ) 2 = - y ВІ.
Його можна перетворити до канонічного виду (z ВІ) 2 =-2py ВІ, де
p =. Це рівняння визначає параболічний циліндр, вісь якого спрямована уздовж негативного напрямку координатної осі O Вў y ВІ, а утворюють паралельні осі O Вў x ВІ. br/>
ВИСНОВОК
Теорія квадратичних форм знаходить практичне застосування у приведенні рівнянь кривої і поверхні другого порядку до канонічного вигляду. У зв'язку з цим у цій роботі були розглянуті наступні теми:
власні числа і власні вектори лінійного оператора;
Самосопряженний оператор;
билинейная функція і квадратична форма;
приведення квадратичної форми до діагонального вигляду;
приведення рівнянь кривої і поверхні другого порядку до канонічного вигляду.
У кінці кожного розділу наведено приклади по заданій темі.
ЛІТЕРАТУРА
1.Погорелов А.В. Аналітична геометрія. М.: Наука, 1978
. Погорєлов А.В. Геометрія. М.: Наука, 1984. p>. Атанасян Л.С., Базилєв В.Т. Геометрія. ...
