иклад, z = 2 і знаходимо x = -1, y = 2. (-1, 2, 2). br/>В
Дані системи вирішуються таким же способом. Ми знаходимо
(2, 2, -1), (2, -1, 2). Тепер нормуємо знайдені власні вектори, і результат оформляємо таким чином. br/>В
Складаємо матрицю переходу, виписуючи координати нових базисних векторів в стовпці.
C =.
Дана матриця вийшла симетричною. Тому вона є сама до себе зворотною: C В· C = E. З цієї ж причини формули прямого і зворотного заміни координат виглядають однаково:
В
Квадратичне частина рівняння в нових координатах ми виписуємо відразу, а в лінійну частину необхідно зробити підстановку.
0x Вў 2 + 3y Вў 2 + 6z Вў 2 + (- x Вў + 2y Вў + 2z Вў) - (2x Вў + 2y Вў - z Вў) = 0,
3y Вў 2 + 6z Вў 2 - 6x Вў + 6z Вў = 0.
Ділимо дане рівняння на 3 та виділяємо повний квадрат по z Вў; коефіцієнт при x Вў виносимо за дужку.
y Вў 2 + 2 (z Вў 2 + z Вў +) - 2x Вў = 0,
y Вў 2 + 22 = 2.
Робимо заміну координат:
В
Вона означає перенесення початку координат в точку O Вў ( - 1/4, 0, - 1/2) Ox Вў y Вў z Вў . Після заміни отримуємо рівняння
(y ВІ) 2 + 2 (z ВІ) 2 = 2x ВІ Г› + (z ВІ) 2 = x ВІ.
Ми отримали канонічне рівняння еліптичного параболоїда, віссю якого є O Вў x ВІ.
У наступному заключному прикладі ми розглянемо найскладніший випадок, коли нуль є власним числом кратності 2.
Приклад 7. Щодо декартової системи координат Oxyz поверхню визначається рівнянням
+ y2 + z2 + 2xy + 4xz + 4yz + 8x + 4y - 5 = 0.
За допомогою переходу до нової декартовій системі координат привести рівняння поверхні до канонічного виду і визначити тип поверхні.
Рішення. Нехай k () = x2 + y2 + z2 + 2xy + 4xz + 4yz - квадратична частина рівняння поверхні. Складемо матрицю квадратичної форми k () і матрицю A - lE:
A =, A - lE =. br/>
Знаходимо коефіцієнти характеристичного многочлена:
A = 1 + 1 + 4 = 6,
а оскільки, очевидно, rank A = 1 (тому всі рядки в A пропорційні), то I2 (A) = 0 і det A = 0. Складаємо характеристичне рівняння відповідно до формули (6):
-l3 + 6l2 = 0 Г› l2 (l - 6) = 0. br/>
Значить, l1 = 0, l2 = 0, l3 = 6. Для власного числа l3 = 6 звичайним чином знаходимо власний вектор (1, 1, 2). p> При l1 = l2 = 0 система рівнянь для знаходження власних векторів має ранг 1:
Тому, так само, як і в прикладі 2, залишаємо перше рівняння
x + ...
