них комп'ютерів кожні три роки. При цьому університет може виділяти 30000 рублів щорічно, розміщуючи їх під 8% річних. Яка сума надійде в розпорядження університету після закінчення трирічного терміну?
Рішення . Для вирішення даної задачі скористаємося формулою (2), тоді маємо:
.
Відповідь:
Приклад 24.
Компанії необхідно робити заміну обладнання кожні 8 років. Для цього виділяються певні кошти. Якщо компанія може виділити 100 тисяч рублів щорічно і розмістити їх під 4% річних, то яка сума буде в її розпорядженні після закінчення восьми років?
Рішення . Нехай початковий депозит (сума грошей, поміщена вкладником в банк на визначений або невизначений термін. Банк пускає ці гроші в оборот, а в обмін виплачує вкладникові відсотки) поміщений в банк під i =100% річних, тоді через рік сума депозиту подвоїться. Припустимо, що через півроку рахунок закритий з результатом
і ця сума знову поміщається на депозит. Наприкінці року депозит буде дорівнює
.
Аналогічно, при щоквартальному розміщенні депозит в кінці року буде дорівнює
.
Якщо щомісяця повторювати ту ж операцію, то
,
при щогодинної операції
.
Зауважимо, що послідовність значень збільшення первісного внеску збігається з послідовністю, межа якої дорівнює.
У загальному випадку, якщо i -відсоток нарахування і рік розбитий на n частин, то через t років сума депозиту буде дорівнює:
або.
Введемо нову змінну, при n ®? отримаємо m ®?.
.
Дана формула називається формулою безперервних відсотків.
Відповідь:
Приклад 25.
Нехай темп інфляції становить 1% на день. Наскільки зменшиться початкова сума через півроку?
( Інфляція - процес зменшення вартості грошей, в результаті якого на однакову суму грошей через деякий час можна купити менший обсяг товарів і послуг).
Рішення . Використовуємо формулу складних відсотків (1), маємо:
, або,
тобто інфляція зменшить початкову суму приблизно в 6 разів.
Відповідь: в 6 разів.
Приклад 26.
Нехай в деякий фонд вноситься разовий внесок і особа, яка здійснила цей внесок, отримує певні суми грошей через певні проміжки часу. У такій ситуації найбільш поширеною формою виплати є договір про аннуїтете. Оцінимо вартість ануїтету (періодично сплачується грошова сума (внесок, рента, дохід)) на момент укладання договору. Зауважимо, що дана задача є зворотною для вище розглянутим. Позначимо кожну виплату як S, процентну ставку як i%, а, - процентний коефіцієнт, n - період дії ануїтету. За формулою (1) будемо мати поточну вартість виплати, виробленої в кінці року n
,
Загальна вартість ануїтету V є сумою всіх виплат:
,
Тоді використовуючи формулу для суми геометричної прогресії, одержимо:
. (3)
Відпові...
