екторів, то векторний добуток можна представити у вигляді:
В
Змішане твір векторів
Змішаним твором векторів називається число, що позначається і визначається рівністю
В
тобто векторне твір двох векторів (або, що теж саме []) множиться скалярно на третій вектор (рис.1).
В
Геометричний сенс змішаного твори: змішане твір векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах як на сторонах, взятому зі знаком В«+В», якщо трійка векторів - права, і зі знаком В«?В», якщо трійка векторів - ліва.
Властивості змішаного твори векторів
. Умова компланарності векторів: три вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли їх змішане твір дорівнює нулю. p> 2. p>. p>. . br/>
Якщо координати векторів задані, то змішане твір можна представити у вигляді:
В
Розкладання вектора по базису. лінійні операції в координатної формі
Трійка векторів називається базисом в тривимірному просторі геометричних векторів V3, якщо будь-який вектор ГЋ V3 може бути єдиним чином представлений у вигляді
В
де?,?,? - Деякі числа, звані координатами вектора в базисі
.
Справедливі наступні твердження:
У тривимірному просторі V3 будь трійка некомпланарних векторів утворює базис.
У двовимірному просторі V2 будь-яка пара неколінеарних векторів утворює базис.
З властивостей лінійних операцій з векторами слідують твердження:
У фіксованому базисі для будь-яких векторів
В
маємо
;
В
Тобто при додаванні векторів їх координати складаються, при множенні вектора на кількість його координати множаться на це число.
Умова коллинеарности векторів у координатній формі: два вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх координати пропорційні.
ТЕМА 11. Пряма лінія на площині. Системи координат на площині: декартові і полярні координати
Декартова система координат на площині визначається деякою її точкою O і базисом з двох векторів, паралельних площині. Точка O називається початком координат. Прямі, проведені через початок координат в напрямку базисних векторів, називаються осями координат. Вони полягають у площині і називаються осями абсцис і ординат. Кожна вісь координат є числовою віссю з початком в точці O, позитивним напрямком, що збігається з напрямком відповідного базисного вектора, і одиницею довжини, що дорівнює довжині цього вектора. p align="justify"> Координатами точки M називаються координати вектора OM (радіус-вектора) (див. рис. 1).
В
Якщо базис ортонормованій, то зв'язана з ним декартова система координат називається прямокутною.
На площині часто вживається також полярна система координат (рис. 2).
В
Вона визначається точкою O, званої полюсом, і променем, що походить із полюса, званим полярною віссю. Полярними координатами ? і j точки M називаються відстань ? від полюса до точки M ( ? = | OM |) і кут j між полярною віссю і вектором OM (рис. 2). Кут j називається полярним кутом, вимірюється в радіанах і відраховується від полярної осі проти годинникової стрілки. Полярні координати точки O :? = 0, кут j не визначений. У решти точок ? > 0 і кут j визначений з точністю до 2 ? . Зазвичай вважають 0? j <2 ? або? ? < j ? ? .
Якщо полюс співпадає з початком прямокутної декартової системи координат, а полярна вісь - з позитивною частиною осі абсцис, то декартові координати x і y точки M виражаються через її полярні координати ? і j форм...
