улами
=? cos j y =? sin j .
Полярні координати ? і j точки M виражаються через її декартові координати x і y формулами:
;;.
Пряма на площині
У декартовій системі координат на площині кожна пряма визначається рівнянням 1-го ступеня і, назад, кожне рівняння 1-го ступеня визначає пряму.
Рівняння виду Ax + By + Cz = 0 (A2 + B2? 0) називається загальним рівнянням прямої.
Угловим коефіцієнтом k прямий називається число k = tg ? , де ? - кут нахилу прямої до осі OX (0? ?
Рівняння y = kx + b називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом (b - ордината точки перетину прямої з віссю OY).
Рівняння прямої
називається рівнянням прямої у відрізках (a - абсциса точки перетину прямої з віссю OX, b - ордината точки перетину прямої з віссю OY).
Рівняння прямої, що проходить через дві точки M1 (x1, y1) і M2 (x2, y2), має вигляд
.
Кут між прямими з кутовими коефіцієнтами k1 і k2 визначається формулою:
В
Умова паралельності прямих: k1 = k2
Умова перпендикулярності прямих: k1k2 =? 1
ТЕМА 12. Криві другого порядку
Окружність
Окружністю називається крива другого порядку, яка в деякій декартовій системи координат описується рівнянням
x2 + y2 = R2, де R> 0 - радіус кола. Це рівняння називається канонічним рівнянням кола, а система координат, в якій окружність описується канонічним рівнянням, називається канонічною. У канонічній системі початок координат є центром кола (рис. 1).
В
Рівняння
(x? a) +2 + (y? b) 2 = R2
визначає коло радіуса R з центром в точці O '(a, b).
Еліпс
Еліпсом називається крива другого порядку, яка в деякій декартовій системі координат описується рівнянням:
В
де a> 0, b> 0 - параметри еліпса. Це рівняння називається канонічним рівнянням еліпса, а система координат, в якій еліпс описується канонічним рівнянням, називається канонічною. p align="justify"> У канонічній системі осі координат є осями симетрії еліпса, а початок координат - його центром симетрії. Отже, ми можемо обмежитися дослідженням функції
(1)
при x? 0, y? 0, тобто розглядати частину еліпса, що лежить в першій чверті, а потім отриману криву відобразити симетрично щодо осей координат.
Область визначення функції (1): 0? x? a, область значень функції (1): 0? y? b, тобто весь еліпс лежить усередині прямокутника | x |? a, | y |? b. Обчисливши похідні y 'і y'', легко переконатися в тому, що функція (1) в інтервалі x ГЋ (0, a) убуває від b до нуля і її графік є опуклим вгору (рис.1).
В
Відбивши отриманий графік функції (1) симетрично, щодо осей координат, отримуємо шуканий еліпс (рис. 2):
В
Точки перетину еліпса з осями координат (В± a, 0) і (0, В± b) називаються вершинами еліпса, а відповідні відрізки a і b-півосями еліпса. Нехай a> b. Покладемо:
.
Точки F1 (? c, 0) і F2 (c, 0) називаються фокусами еліпса (якщо a
Ексцентриситетом e еліпса називається відношення відстані між фокусами 2с до великої осі 2а:
(e <1, тому з <а).
В окремому випадку a = b = R ( e = 0) еліпс є окружністю з рівнянням
+ y2 = R2.
Гіпербола
Гіперболою називається крива другого порядку, яка в деякій декартовій системі координат описується рівнянням:
,
де a> 0, b> 0 - параметри гіперболи. Це рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи, а система координат, в якій гіпербола описується канонічним рівнянням, називається канонічною. p align="justify"> Зауважимо, що в канонічній системі осі координат є осями симетрії гіперболи, ...
