еретворення координат. p> Рангом квадратичної форми називається ранг її матриці.
Якщо Rg A = n, квадратична форма називається невиродженої.
Якщо Rg A
Ранг квадратичної форми не змінюється при невиродженому лінійному перетворенні базису і дорівнює
ла) кількістю відмінних від нуля коефіцієнтів в будь-якому канонічному вигляді квадратичної форми;
б) кількістю ненульових власних значень матриці квадратичної форми з урахуванням їх кратності.
Закон інерції квадратичних форм.
Число доданків з позитивними і негативними коефіцієнтами в канонічному вигляді квадратичної форми постійно і не залежить від способу приведення форми до канонічного виду (тобто від вибору власного базису).
ТЕМА 10. Вектори на площині і в просторі
Основні поняття
Геометричним вектором називається спрямований відрізок, який можна переміщати паралельно йому самому.
Спрямований відрізок з початком в точці A і кінцем у точці B позначається. Вектори позначаються також малими латинськими літерами зі стрілками, наприклад,. p> Довжиною (або модулем) вектора називається відстань між точками A і B. Модуль вектора позначається символом. Вектор нульової довжини називається нульовим і позначається символом. p> Вектор, рівний по довжині вектору і протилежно спрямований, називається протилежним і позначається.
Вектор, довжина якого дорівнює 1, називається одиничним. Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямком вектора, називається ортом вектора. p> Вектори, що лежать на паралельних або співпадаючих прямих, називаються колінеарними.
Вектори, що лежать в паралельних або співпадаючих площинах, називаються компланарними. Якщо кут між векторами дорівнює?/2, то вектори називаються ортогональними. p align="justify"> Додавання векторів і множення вектора на число
Сумою векторів і називається вектор = + з початком у точці A і кінцем у точці C (правило трикутника) (рис.1).
Твором вектора і дійсного числа? називається вектор? В·, модуль якого дорівнює |? | В·, напрямок збігається з напрямком вектора при?> 0 і протилежно напрямку вектора при? <0 (рис.2). <В
Операції додавання векторів і множення вектора на число називаються лінійними операціями.
Властивості лінійних операцій з векторами.
Для будь-яких векторів,, і будь-яких чисел?,?:
.
.
. (- Нульовий вектор)
. (- Протилежний вектор);
.
.
.
Умова коллинеарности векторів: два ненульових вектора і колінеарні тоді і тільки тоді, коли вони пропорційні, тобто існує число? ? 0 таке, що
Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору.
Скалярний добуток векторів
Скалярним твором векторів і називається число, що позначається () і рівне добутку їх модулів і косинуса кута? між ними, тобто
В
Властивості скалярного твори векторів
Для будь-яких векторів і будь-яких чисел?,?:
.
.
.
.
З визначення скалярного твори слід, що кут між ненульовими векторами визначається формулою
(1)
З формули (1) випливає умова ортогональності векторів:
два вектори ортогональні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Якщо, те
В
координати перемножуваних векторів; - орти координатних осей.
Векторне твір векторів
Векторним твором векторів називається вектор, який позначається і задовольняє наступним трьом умовам:
., де j-кут між векторами;
.
. Вектори утворюють праву трійку, тобто з кінця вектора найкоротший поворот від вектора до вектора видно проти годинникової стрілки (рис.1).
В
Зауваження. Це визначення однозначно визначає векторний добуток ненульових векторів. Якщо хоча б один з співмножників - нульовий вектор, то векторне твір вважається рівним нульовому вектору. p> З визначення векторного добутку випливає, що для будь-якого вектора.
Геометричний сенс векторного твори: модуль векторна ого твори векторів чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах як на сторонах.
Властивості векторного твори векторів
Для будь-яких векторів і будь-яких чисел?,?:
.;
. ; p>.;
Умова коллинеарности векторів: два вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх векторний добуток одно нульовому вектору, тобто
// Г›
(нульовий вектор можна вважати колінеарним будь-якому вектору).
Якщо задані координати перемножуваних в...
