напрямку осі z, то всередині немає інших компонент безлічі. Нехай замкнута опукла крива, а С - опуклий циліндр з направляючою G і утворюючими, паралельними осі z. Ріг Т лежить всередині С. Позначимо через частину поверхні F, що лежить поза С.
З зазначених вище властивостей проекції кривої на Р легко слідують, що проекцією частини на Р буде безліч Р .
Розглянемо тепер безліч. Нехай - його прообраз в W. Безліч компактно в W. Тому його компонентами можуть бути лише цикли. Образи цих циклів на F не можуть мати вертикальних дотичних, а тому всі криві з мають усередині точку, тобто їх образи поясами на F. Якщо б мала більш однієї компоненти, то на F знайшлася б така кільцева область U, межа якої складалася б з двох замкнутих кривих, що лежать на С. Очевидно, U лежить всередині С, так як U не допускає відрізання окрайців. Нехай - проекція U на Р. Візьмемо точку Х, лежачу на границі безлічі, але не на G, і проведемо через Х пряму паралельно осі z. Пряма буде дотичній до F, а тому на U мається вертикальна дотична площину, що р
Кожна утворює циліндра З перетинає, а значить і F, в одному і тому ж числі точок. Це число (позначимо його через) дорівнює числу обертів навколо циліндра. Воно буде одним і тим же для будь-якого циліндра C, всередині якого лежить С, а тому одним і тим же для всіх, коли.
Гладкі цикли і гомотопних в W, причому лежить всередині. Нехай - замкнута область в W між і, а D - її образ на F. Безліч D можна розбити на кінцеве число таких частин, кожна з яких однозначно проектується на Р. З'єднаємо всередині криві і однопараметричним сімейством гладких кривих, де,,, причому при криві сходяться до разом з дотичними. Через позначимо образи кривих на F.
Нехай і - проекції і на Р. Дуга кривої, лежача всередині, не має самоперетинів. Тому при узгоджених обходах кривих обертання полів дотичних кривих у всіх одне й те саме і одно обертанню поля дотичних кривої, тобто одно. А тоді у плоскої кривої обертання поля зовнішніх нормалей також одно. Але нормалі до є проекціями на Р нормалей до F у відповідних точках кривої. Так як сферичним зображенням кривої буде жорданова крива, для досить великих як завгодно близька до екватора, то обертання поля нормалей до одно +1, тобто. А це означає, що F взаємно однозначно проектується на Р.
Проекцією F на Р або, що те ж саме, на Р буде така область, що замкнутий безліч буде одинзв'язного і обмежена. Безліч М буде опуклим. В іншому випадку від F можна було б вертикальною площиною Q відсікти частину U, обмежену плоскої кривої L, прообраз якої в W має обидва кінці в точці, що неможливо, як доведено вище. Отже, М опукло. Теорема доведена.
Висновок
У даній роботі я розглянула теоретичні аспекти, пов'язані з поверхнями з постійним типом точок, зокрема питання, що стосуються опуклих і сідлових поверхонь. Познайомилася з класифікацією точок регулярної поверхні, з деякими властивостями зовнішньої геометрії опуклих і сідлових поверхонь, розглянула зв'язок поверхонь з постійним типом точок з теорією сферичного зображення і теорією кривизни.
Матеріал роботи може бути використаний студентами при отриманні вищої професійної освіти, а також викладачами для проведення навчальних занять.
Список літератури
.Александров А.Д. Внутрішня геометрія опуклих поверхонь.- М .: ОГИЗ, 1948.
.Бакельман І.Я., Вернер А., Л., Кантор Б.Є. Введення в диференціальну геометрію в цілому raquo ;.- М .: Наука, 1973.
.Бляшке В. Диференціальна геометрія.- М.: ОНТИ, 1935.
.Вернер А.Л. Про зовнішню геометрії найпростіших повних поверхонь непозитивно кривизни.- М., 1968.
.Дубровін А.А. Про регулярності опуклої поверхні з регулярною метрикою в просторах постійної кривизни.- Укр., 1965.
.Дубровін Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Сучасна геометрія.- М.: Наука, 1979.
.Ефімов Н.В. Виникнення особливостей на поверхнях негативної кривизни.- М., 1964.
.Кон-Фоссен С.Е. Ізгібаемость поверхні в цілому raquo ;.- М.: УМН, 1936.
.Міщенко А.С., Фоменко А.Т. Короткий курс диференціальної геометрії і топології.- М .: ФІЗМАЛІТ, 2004.
.Норден А.П. Теорія поверхонь.- М .: Гостехиздат, 1956.
.Погорелов А.В. Зовнішня геометрія опуклих поверхонь.- М .: Наука
.Погорелов А.В. Вигинання опуклих поверхонь.- М .: Гостехиздат
.Позняк Е.Г., Шикін Є.В. Диференціальна геометрія: Перше знайомство. Изд. 2-е, исправл. і доп.- М .: Едіторіал УРСС, 2003.
.Рашевскій П.К. Курс диференціальної геометрії.- М .: Гостехиздат, 1956. поверхню сфера кривизна седловой
.Розендорн Е.Р. Про повних поверхнях негативною кривизни в евклідових просторах.- М., 1962.
.http: //slo...
