в знаменнику e найбільшою можливою мірою:
P = e k (a k + a k +1 e + ...), Q = e l (b l + b l +1 e + ...), a k , b l відмінні від 0.
Число a буде позитивним, якщо a k , b l мають однакові знаки, і негативним, якщо вони мають різні знаки. p> Побудоване впорядковане поле R (e) можна розглядати як розширення поля R: досить ототожнити дійсне число х з класом еквівалентних дробів, що містить дріб x/1. Залишилося лише показати, що аксіома Архімеда не виконується, пред'явивши нескінченно малий елемент. Цим елементом буде, звичайно, e (точніше, клас, що містить e/1). Справді, e + e + ... + E <1, так як різниця 1-ne позитивна (знак визначається вільним членом, а 1> 0).
Искомое розширення побудовано. br/>
6. НОВІ ВИМОГИ ДО ГІПЕРДЕЙСТВІТЕЛЬНИМ ЧИСЛАХ І ОСНОВНА ГІПОТЕЗА
Ми побудували неархимедовой розширення R (e) поля дійсних чисел. Новим вимогою до гіпердействітельним числах яляется наступне. Потрібно вміти обчислювати В«значенняВ» стандартних функцій (заданих спочатку як функції з дійсними аргументами і значеннями) на гіпердействітельних аргументах. Іншими словами, для кожної функції f: R В® R необхідно мати її В«гіпердействптельний аналогВ» * f: R В® R. При цьому, значення * f на стандартних числах повинні збігатися з відповідними значеннями функції f. Іншими словами, * f має бути продовженням f. Такі аналоги були у нас для операцій додавання, віднімання, множення і поділу. Але цього мало: потрібні такі аналоги і для інших функций. p> Отже, для кожної стандартної функції f (функції з дійсними аргументами і значеннями) нам потрібно мати її гіпердействітельное продовження * f. Якщо від * f нічого не вимагати, то це тривіально: можна вважати, що у всіх дійсних точках * f приймає ті ж значення, що і f, а в нестандартних точках * f має які завгодно значення (Наприклад, нулі). Ясно, однак, що від такого продовження ніякого толку немає:
Потрібно виділити деякий клас властивостей - клас тих властивостей, які ми хочемо зберегти. Правильний вибір цього класу має вирішальне значення для успіху нашого побудови системи гіпердействітельних чисел. Якщо цей клас буде дуже вузький, то від наявності продовжень * f НЕ буде користі. Якщо ж, навпаки, він буде занадто широкий, то сама можливість побудови системи гіпердействітельпих чисел і визначення продовжень опиниться під загрозою.
Наша головна завдання - описати, які властивості стандартних функцій ми хочемо зберегти при переході від дійсних чисел до гіпердействітельним. Є дві можливості це зробити. Перша можливість полягає в застосуванні методів математичної логіки. Можна сказати, що при переході від дійсних чисел до гіпердействітельним зберігаються всі властивості, які можна виразити на В«мові першого порядку В». Друга можливість дозволяє обійтися більш В«кустарнимиВ» ...
