засобами і не вдаватися до відомостей з логіки. Звичайно, при цьому ми будемо відчувати деякі незручності, використовувати обхідні маневри і т. п., але зате не буде потрібно знайомство з математичною логікою.
Ми припускаємо, що крім поля R дійсних чисел є більше широке упорядковане поле * R гіпердействітельних чисел, що включає R як підмножина (ще раз підкреслимо, що існування * R з потрібними властивостями є поки тільки гіпотезою, а не доведеним фактом). Нехай для кожної функції f з дійсними аргументами мається її природне поширення, її В«гіпердействітельний аналогВ» - функція з гіпердействітельнимі аргументами і значеннями. При цьому функція f може бути функцією не тільки одного дійсного аргументу, а й двох, трьох і т. д.; функція * f, зрозуміло, повинна мати те ж саме число аргументів. Для простоти ми поки не будемо розглядати часткових функцій і будемо вважати, що f (Відповідно * f) визначена при всіх дійсних (відповідно гіпердействітельних) аргументах. Сформулюємо тепер наша вимога (В«аналоги володіють тими ж властивостями, що і вихідні функ-ції В») більш точно.
Будемо розглядати системи рівнянь виду t = s і нерівностей виду t В№ s, ліві і праві частини яких містять якісь дійсні функції дійсних аргументів, дійсні константи і змінні - небудь на зразок
sin (cos (x)) = y + exp (z), z В№ y-2x, [Z] = y
Ця система містить змінні x, y, z, одномісні функції sin, cos, exp [] (ціла частина), двомісні функції (додавання, віднімання, множення) і константу 2 (константи для одноманітності ми будемо вважати функціями нуля аргументів). Всі вхідні в систему функції мають за нашим припущенням гіпердействітельние аналоги. Позначимо їх * sin, * cos, * exp, * [], * +, * -, і напишемо систему
* sin (* cos (x)) = y * + * exp (z), z В№ y * -2 * x, * [Z] = y
яку природно назвати В«гіпердействітельним аналогом вихідної В».
В якості можливих значенні змінних цієї системи можуть фігурувати будь-які гіпердействітельние числа. Тим самим набуває сенс питання про наявність або відсутність гіпердействітельних рішень цієї системи. Оскільки ми припускаємо, що входять до неї функції є продовженнями відповідних функцій дійсного аргументу, то всяке (дійсне) рішення вихідної системи буде одночасно рішенням нової системи. Таким чином, якщо вихідна система має рішення, то і її гіпердействітельний аналог має рішення. Ми вимагатимемо і зворотного:
всяка система рівнянь і нерівностей, гіпердействітельний аналог якої має (гіпердействітельние) рішення, повинна мати дійсні рішення.
Введемо поняття терма. Виберемо рахунковий набір символів, елементи якого будемо називати змінними. Будемо називати термом будь-яку змінну, будь-яке дійсне число, а також будь-яке вираз виду f (t 1 , ..., t n ), де f - функція п дійсних аргументів, а t 1 , ..., t n - побудовані раніше терми. p> Системою (точніше, системою рівнянь і н...
