DD '(див. рис.). Опустимо з точки A перпендикуляр AC на пряму DD 'і проведемо через точку A пряму BB', перпендикулярну до AC. Ясно, що прямі BB 'і DD' не перетинаються (інакше утворився б трикутник із сумою кутів, більшою 180 В°). br/>
В
Треба довести, що будь-яка інша пряма MN, через точку А, перетинається з прямою DD '. З двох променів АM, АN виберемо той, який з відрізком АС становить гострий кут; нехай це буде промінь АN і нехай (рис. в низу на с.22) точка В і N лежать по одну сторону від прямої АС (в іншому випадку можна було б поміняти позначення точок В і В . Кут ВАN позначимо через а.
В
рис.1 рис.2
Відкладемо на промені СD відрізок СР1 = СА (рис. 2). Тоді в равнобедренном прямокутному трикутнику АСР1 кожен з кутів? А,? Р1 = 450 = 1/2 * 900 (адже, за припущенням, сума кутів трикутника дорівнює 1800). Відкладемо тепер на прямий СD відрізок р1р2 = Р1А. тоді в трикутник АР1Р2каждий з кутів? Р1АР2,? Р2, як легко підрахувати, дорівнює 1/2 * 450 = 1/4 * 900. Потім побудуємо точку Р3 прямий СD (так, щоб АР2 = Р2Р3) і т.д. В результаті отримаємо промені АР1, АР2, АР3 ..., кожен з яких перетинає пряму СD. При цьому? ВАР1 = 1/2 * 900,? ВАР2 = 1/4 * 900,? ВАР3 = 1/8 * 900, ... Ясно, що після кінцевого числа кроків отримаємо такий промінь АРn (перетинає пряму DD), для якого? ВАРn = 1/2n * 900 <а. цим і завершується доказ теореми.
Як відомо з V постулату (або аксіоми паралельності) випливає, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 1800.
Таким чином, теорема 3 показує, що твердження В«сума кутів трикутника дорівнює 1800 еквівалентно V постулату (ця еквівалентність має місце тільки при виконанні інших аксіом геометрії Евкліда).
На закінчення наведемо один з доказів V постулату, поміщених Лежандром в його книзі "Початки геометрії". Для доказу V постулату потрібно лише встановити, що сума кутів трикутника не може бути менше 180 В°: адже тоді з теореми 1 буде витікати, що сума кутів трикутника в точності дорівнює 180 В°, а тому, згідно теоремі 3, буде справедливий V постулат. Доказ проводиться "від протилежного": нехай існує трикутник ABC, сума кутів якого менше 180 В°, скажімо, дорівнює 180 В° -? (Див. рис.). p> Побудуємо на стороні BC поза трикутника ABC трикутник BCD, рівний ABC, і проведемо через точку D пряму, що перетинає сторони AB і AC кута BAC в точках M і N. У такому випадку сума кутів трикутника BCD також дорівнює 180 В° -?, А у трикутників BDM і CDN суми кутів не перевищують 180 В° (теорема 1). br/>
В
Тому сума 12 кутів чотирьох трикутників: ABC, BCD, BDM і CDN вбирається 720 В° -2?. Але суми трьох кутів при точках B, C і D дорівнюють 180 В°; тому сума решти трьох кутів при вершинах A, M і N вбирається (720 В° -2?) - 540 В° = 180 В° - 2?. Таким чином, ми побудув...
