али трикутник AMN, сума кут якого не перевершує 180 В° -2?. Далі таким же способом будуємо трикутник, сума кутів якого не перевершує 180 В° - 4?, Потім трикутник, сума кутів якого не перевершує 180 В° - 8?, І т. д. Але таким шляхом ми, врешті-решт, прийдемо до трикутника з від'ємною сумою кутів, - а такого трикутника явно не може бути! Отримане протиріччя і доводить, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 В°, а значить (теорема 3), V постулат має місце. p> Помилковість цього доказу полягає в тому, що Лежандр, не обумовлюючи цього явно, користується таким твердженням: через будь-яку точку D, взяту всередині кута CAB, можна провести пряму, що перетинає обидві сторони цього кута. Але ця пропозиція еквівалентно самому V постулату: його так само не вдається довести, виходячи з інших аксіом, як і V постулат. p> Неевклидова геометрія Лобачевського і абсолютна геометрія. Багато спроби докази V постулату проводилися за схемою "докази від протилежного", тобто передбачалося, що V постулат не має місця, і робився ряд висновків, що мають місце в цьому випадку. Якби при цьому вдалося прийти до протиріччя, то V постулат був би доведений. По цьому шляху йшли згадані вище Хасан ібн ал-Хайсам і Омар Хайям, а також багато в чому слідували за Хайямом азербайджанський математик XIII століття Насир Ад-Дін ат-Тусі, італійський математик XVII-XVIII століть Джироламо Саккери і німецький математик XVIII століття Іоганн Генріх Ламберт . p> При цьому було накопичено багато фактів, які мали б місце в геометрії, в якій вірні всі аксіоми евклідової геометрії, крім аксіоми про паралельність, а остання невірна. Особливо багато дивовижних теорем, які мали б місце в такій "геометрії", якби тільки остання була можлива, отримав І.Г. Ламберт. Однак ніхто з перерахованих вище математиків не допускав і думки про те, що, крім геометрії Евкліда, можлива інша несуперечлива геометрія. У більшості випадків всі їх побудови завершувалися тим, що явно чи неявно застосовувалася аксіома, яка містить твердження, рівносильне V постулату, в результаті чого і виявлялося протиріччя. Проте сьогодні ми цінуємо згадані дослідження як заклали початку неевклідової геометрії Лобачевського. Під цією назвою розуміється та сукупність теорем, яка може бути виведена з системи аксіом, одержуваної, якщо замінити аксіому паралельних евклідової геометрії протилежним твердженням: у площині через точку A, що не належить прямій a, можна провести більше однієї прямої, що не перетинаються з a (см . мал.).
В
Ця геометрична система носить ім'я Миколи Івановича Лобачевського, професора і ректора Казанського університету. Незалежно від нього, існування нової геометрії встановили великий німецький математик Карл Фрідріх Гаус і чудовий угорський математик Янош Бойя, сун Фаркаша Бойя. Названі три учасника спочатку йшли тим шляхом, який ми вказали вище. Прагнучи довести V постулат від протилежного, вони глибоко розвинули аксіоматичну систему...
