ти. Елементи групи - ненульові класи вирахувань mod p:
mod p = {...,-p + l, l, p + l, 2p + l, ...},
2 mod p = {...,-p +2,2, p +2,2 p + 2, ...},
mod p = {...,-p +3,3, p +3,2 p + 3, ...},
(р - 1) mod р = {..., -1, р - 1, 2р - 1, Зр - 1, ...},
з твором, певним (a modp) (b mod p) = (а 6) mod р, де а b - звичайне арифметичне твір. Групові властивості 1) і 2) слідують зі звичайної арифметики, 3) випливає з евклидова алгоритму (якщо p - просте).
Отже, ми бачимо, що Ейлер вже неявно оперував з групами.
Крім того, в процесі докази Ейлер вперше застосував методи дослідження рівнянь, які пізніше були розвинені Лагранжем і стали основними в його роботах, присвячених питанню рішення рівнянь в радикалах, а потім увійшли в якості невід'ємної складової частини в теорію Галуа.
3.7.2 Гаусс і глибоке єдність математики
Одним джерелом теорії груп була теорія композиції класів квадратичних форм Гаусса з роботи В«Арифметичні дослідженняВ». У ній операція, аналогічна додаванню (або множенню) чисел, була перенесена на об'єкти, вельми від чисел далекі. На прикладі класів форм одного дискриминанта Гаусс фактично досліджував основні властивості циклічних і загальних абелевих груп. p align="justify"> Побудова Гауссом теорії класів бінарних квадратичних форм (заданого дискриминанта) - найбільш абстрактні приклади груп, побудовані в той час. Вводячи далеко не тривіальну операцію - композицію форм, Гаусс доводить, що виходячи з композиції форм можна визначити композицію класів, вказує, що при композиції головного класу з будь-яким класом До виходить знову клас К, показує, що у кожного класу існує протилежний, коротше кажучи, перевіряє всі елементарні властивості групової операції. Асоціативність і комутативність композиції класів він не перевіряє, але вони відразу слідують із зазначеної ним раніше асоціативності і коммутативности композиції самих форм. p align="justify"> Взагалі, у всіх інших працях Гаусса, розвинені дуже потужні алгебраїчні методи. У цих роботах оголилися багато абстрактні поняття, що утворюють кістяк нової алгебри: ставлення і клас еквівалентності, фактормножество, порівняння, кільце і поле класів відрахувань, поле розширення, абелеві групи і т. д.
Зокрема теорію абелевих груп Гаусс вивчав не лише на прикладі квадратичних форм. Теорія кінцевих абелевих груп зустрічається в вищезгаданих В«Арифметичних дослідженняхВ» ще в трьох різних контекстах: при вивченні адитивної групи цілих за модулем n; при розгляді мультиплікативної групи відрахувань по модулю n; при дослідженні мультиплікативної групи коренів n-го ступеня з одиниці
Гаус глибоко відчував внутрішню єдність математики, він чудово висв...
