ідносно Операції додавання;
2. ;
. ;
. ;
. .
Умови 1-5 назівають аксіомамі векторного простору.
Если, то назівають дійснім векторна простором, ЯКЩО, то назівають комплексним векторна простором.
Нейтральний елемент відносно Операції додавання будемо назіваті нуль-вектором и позначаті.
Нехай - множини функцій, неперервно на відрізку. Ця множини відносно операцій додавання функцій и множення функцій на дійсне число є дійснім векторна простором. Цею простір назівають векторна простором неперервно на відрізку функцій.
2. Найпростіші Властивості векторних просторів
Для будь-якого векторного простору над полем справджуються наступні Властивості.
1. .
. .
. .
4. Если то або.
3. Підпросторі векторного простору
Нехай - Деяк Векторний простір над полем.
Означення. НЕПОРОЖНЯ підмножіну векторного простору назівають підпростором цього простору, ЯКЩО підмножіна сама є векторним простором відносно операцій додавання и множення на скаляр, визначених в просторі.
Теорема. НЕПОРОЖНЯ підмножіна векторного простору буде підпростором цього простору тоді и Тільки тоді, коли віконуються Дві умови:
1.
.
4. Лінійні комбінації и лінійні Оболонки векторів
Нехай - Деяк Векторний простір над полем.
Означення. Вектор назівають лінійною комбінацією векторів з коефіцієнтамі, ЯКЩО
Означення. Лінійною Оболонков векторів назівають множини всех лінійніх комбінацій ціх векторів; позначають:.
Теорема 1. Лінійна оболонка будь-яких векторів простору є підпростором цього простору.
Теорема 2. Если - підпростір векторного простору І, то
маючий на увазі теорему 2, кажуть, что лінійна оболонка векторів є найменша підпростором простору, что містіть ЦІ вектор.
5. Лінійно залежні и лінійно незалежні системи векторів.
Крітерій лінійної залежності системи векторів Нехай - Деяк Векторний простір над полем, - Деяка система векторів.
Означення. Систему векторів назівають лінійно Незалежності, ЯКЩО Рівність
є правильною позбав прі. Если ж ця Рівність правильна при Деяк, то систему назівають лінійно залежних.
Теорема (Крітерій лінійної залежності системи векторів). Система векторів буде лінійно залежних тоді и Тільки тоді, коли в Цій Системі існує вектор, Який є лінійною комбінацією других векторів системи.
Яка б НЕ булу система векторів, є лінійною комбінацією векторів цієї системи з Нульовий коефіцієнтамі. Тому, ЯКЩО система векторів містіть, то вона є лінійно залежних.
6. Властивості лінійно залежних и лінійно незалежних систем векторів
Теорема 1. Если Деяка Підсистема системи векторів є лінійно залежних, то и вся система є лінійно залежних.
Теорема 2. Если система векторів лінійно незалежна, то будь-яка ее Підсистема такоже лінійно незалежна.
Теорема 3. Если система векторів лінійно незалежна, а система векторів лінійно залежна, то вектор є лінійною комбінацією векторів
7. Основна теорема про Дві системи векторів
Лема. Если - деякі Вектори векторного простору н...
