2 ), де x Вў < x 2 < x 3 , не належить прямій y = y 3 , тому шар f -1 ( y 3 ) розпадається на два непорожніх непересічних замкнутих у f -1 ( y 3 ) множини. Це суперечить пошарової зв'язності функції f. Отже, f - монотонна. p> Достатність. Припустимо, що функція f не є зв'язковою. Отже, f не є пошарово зв'язного (по теоремі 2.3). Тоді існує така точка y Вў ГЋ
R , що шар f -1 ( y Вў) - незв'язний, тобто f -1 ( y Вў) = Про 1 Про 2 , де Про 1 і Про 2 - непорожні діз'юнктние замкнуті в f -1 ( y Вў) множини (рис. 6). Отже, знайдуться такі точки x 1 ГЋ Про 1 , x 2 ГЋ Про 2 і крапка х , де x 1 < x < x 2 і x ГЏ Про 1 , x ГЏ Про 2 , що
.
Але це суперечить умові монотонності функції f. Значить, функція f є зв'язковою. Гї
Дана теорема стверджує, що зв'язкові функції, безперервні на відрізку, - це або незростаюча, або неубутною функції. p> Цей факт узагальнюється на випадок інтервалу ( a ; b ). Якщо зв'язкова функція f визначена на R з кінцевим числом точок розриву, то її монотонність в загальному вигляді порушується, але область визначення можна розбити на кінцеве число проміжків, на кожному з яких функція f буде монотонною.
2.4. Твори просторів і проекції
Визначення 17. Нехай Х і Y - топологічні простору з топологіями t Х і t Y відповідно. топологічних твором цих просторів називається безліч X ' Y з топологією t Х ' Y , утвореної сімейством всіх множин виду
U ' V =,
та їх всіляких об'єднань, де U ГЋ t Х , V ГЋ t Y і: X ' Y В® Х ,: X ' Y В® Y - це проекції, причому ( x ; y ) = x і ( x ; y ) = y. Множини виду U ' V = називаються < i> елементарними (Або базисними) відкритою безліччю.
Визначення 18. Відображення f : X в†’ Y називається відкритим , якщо для кожного відкритого безлі...
