ма 6. Міра відкритого обмеженої множини не змінюється при русі .
Д про до а із а т е л ь с т в о . Нехай G відкрите обмежене безліч. Тоді й j (G) є відкрите обмежене безліч. Позначимо через d k (k = 1, 2, 3 ...) складові інтервали безлічі G. На підставі теореми 4, складовими інтервалами безлічі j (G) служать інтервали j (d k ), причому легко перевірити, що цими інтервалами вичерпуються всі складові інтервали безлічі j (G). Звідси: mj (G) = j (d k ) = d k = mG, що й потрібно довести. p> Теорема 7. Рух не змінює ні зовнішньої, ні внутрішньої заходів обмеженого безлічі.
Д про до а із а т е л ь с т в о . а) Нехай E обмежене безліч. Взявши довільне e> 0, знайдемо таке відкрите обмежене безліч G, щоб було GГ‰E, mG У такому випадку j (G) є відкрите обмежене безліч, що містить безліч j (E). Стало бути
m * j (E) ВЈ mj (G) = mG У силу довільності числа e, випливає, що m * j (E) ВЈ m * E, так що при русі зовнішня міра обмеженого множини не збільшується. Але тоді вона і не зменшується, бо інакше зворотне рух призвело б до збільшення зовнішньої заходи.
Отже
m * j (E) = m * E.
b) Позначимо через D який-небудь інтервал, що містить безліч Є. Тоді j (D) є інтервал, що містить безліч j (Е). Покладемо, далі, А = С D E. p> Співвідношення Е + А = D, ЕА = 0 дають, що
j (E) + j (А) = j ( D), j (Е) В· j (А) = 0,
так що j (Е) є додаткові безлічі j (А) щодо інтервалу j (D). Звідси, в силу теореми 7,
m * j (А) + m * j (Е) = mj (D)
і, на підставі вже доведеною частини теореми і теореми 4,
m * А + m * j (Е) = mD.
Значить m * j (Е) = mD-m * (C D Е), і знову застосовуючи теорему 7, ми знаходимо, що
m * j (Е) = m * Є.
Слідство. При русі вимірне безліч переходить в вимірна множина тієї ж заходи.
Визначення 2. Множини А і В називаються конгруентними, якщо існує рух, в якому одне з них переходить в інше. p> За допомогою цього терміна доведені результати можна висловити в такій формі.
Теорема 8. Конгруентні множини мають однакові зовнішню і внутрішню заходи. Безліч, конгруентне вимірному безлічі, вимірно і має ту ж міру.
Клас вимірних множин.
Ми вивчали властивості самих вимірних множин, тут же ми зупинимося на деяких властивостях всього класу вимірних множин. p> Теорема 1. Всяке обмежене рахункове безліч вимірно і міра його дорівнює нулю.
Д про до а із а т е л ь с т в о . Нехай обмежене безліч Е складається з точок х 1, х 2, х 3, ...
Позначимо через Е k одноелементні безліч, щ...
