о складається з точки х k. Очевидно Е k є вимірна множина міри нуль, і теорема випливає з рівності і теореми 4.
Як показує приклад Канторової досконалого безлічі Р 0 , доведена теорема не допускає звернення. p> Визначення 1. Якщо безліч Е представимо у формі суми рахункового безлічі замкнутих множин
В
то говорять, що Е є безліч типу F s .
Визначення 2. Якщо безліч Е представимо у формі перетину рахункового безлічі відкритих множин
,
то кажуть, що Е є безліч типу G d .
З теорем 9 і 10 слід
Теорема 2. Всяке обмежене безліч типу F s або G d вимірюється.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Щодо множини типу F s це очевидно, бо з обмеженості суми множин випливає обмеженість доданків, а так як останні замкнуті, то і вимірні.
Якщо Е є обмежене безліч типу G d , то позначивши через D який-небудь інтервал, що містить безліч Е, ми зможемо представити Е у формі перетину вимірних множин, після чого вимірність множини Е стає очевидною.
Визначення 3. Якщо безліч Е може бути отримано, виходячи з замкнутих і відкритих множин, за допомогою застосування кінцевого числа або рахункового безлічі операцій додавання і перетину, то безліч Е називається борелевим безліччю . Обмежене борелево безліч називається вимірним (В).
Наприклад, множини типу F s і типу G d суть борелеви множини.
Розмірковуючи як при доведенні теореми 2, встановимо, що вірна наступна теорема.
Теорема 3. Безліч, вимірне (В), вимірно ( L).
Зворотний теорема невірна: існують приклади множин вимірних (L) і невимірних (В). Перший ефективний приклад такої безлічі був побудований передчасно померлим московським математиком М.Я. Сусліним (1894-1919). Суслин відкрив надзвичайно важливий і великий клас так званих А-множин, кожне з яких (за умови обмеженості) вимірно (L). Цей клас містить у собі клас всіх борелевих множин, але істотно ширше його.
Цікаво з'ясувати, чи існують взагалі обмежені безлічі незмірні (L)? Прямим рахунком цього питання вирішити не можна, як показує наступна теорема.
Теорема 4. Безліч М всіх вимірних множин має ту ж ливість, що і безліч всіх точкових множин, тобто 2 - з .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Насамперед ясно, що 2 з .
З іншого боку, візьмемо якесь вимірна множина Е міри нуль та потужності з (Наприклад канторова безліч Р 0 ) і позначимо через S безліч всіх його підмножин. Так як всяка частина безлічі заходи нуль також має зовнішню міру нуль і, стало бути, вимірна, то SГЊM, а оскільки...
