> s (x) = s (s = 0, 1), так що j (x) = (-1) s x + d.
Оскільки це рівність, очевидно, залишається в силі і для x = 0, теорема доведена. p> Слідство . При русі кожна точка y ГЋ Z служить чином деякої точки x ГЋ Z , тобто j ( Z ) = Z .
Дійсно, якщо j (x) = (-1) s x + d, то прообразом точки y служить точка x = (-1) s (yd) .
Якщо j (x) = (-1) s x + d є деяке рух, то рух
j -1 (x) = (-1) s (x - d)
називається зворотним рухом. Ці два рухи пов'язані співвідношеннями
j [j -1 (x)] = j -1 [j (x)] = x.
Інакше кажучи, якщо точка х в русі j має чином крапку y, то в русі j -1 точка y має чином крапку х. Вельми важливим є те, що для будь-якого руху існує зворотне йому рух.
Теорема 4 . При русі: а) всякий інтервал переходить в інтервал тієї ж заходи, причому кінцями інтервалу-образу служать образи решт інтервалу-прообразу;
b ) образ обмеженого безлічі є обмежена само безліч.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Нехай D = (a, b) є певний інтервал. Тоді при русі j (x) = x + d чином інтервалу D служить інтервал (а + d, b + d), а при русі j (x) = -X + d - інтервал (d - b, d - a). У обох випадках mj (D) = b - a = mD.
Щоб довести b), позначимо через Е якесь обмежене безліч. Якщо D є інтервал, містить безліч Е, то
j (Е) ГЊ j (D), так що j (Е) обмежена. Можна міркувати і так: якщо для всіх х з Е буде | х |
Теорема 5. При русі: а) замкнутий безліч переходить в замкнутий безліч;
b ) відкрите безліч переходить у відкрите безліч.
Д про до а із а т е л ь с т в о. a) нехай j (F) є образ замкнутого безлічі F. Позначимо через у 0 -яку граничну точку безлічі j (F) і знайдемо послідовність {у n }, для якої
lim у n = у 0 , у n ГЋ j (F).
Нехай х 0 = j -1 (у 0 ), х n = у -1 (у n ).
Тоді х n ГЋF. Але | х n - х 0 | = | У n - у 0 |, так що х n В® х 0 і, в силу замкнутості F, х 0 ГЋ F, звідки у 0 = j (х 0 ) ГЋ j (F). p> Значить j (F) є відкрите безліч.
b) Нехай G є відкрите безліч. Покладемо F = CG. Тоді F є замкнутий безліч і G+ F = Z, G В· F = 0. p> Звідси, в силу теореми 2 і слідства теореми 3,
j (G) + j (F) = Z, j (G) j В· (F) = 0,
тобто j (G) є доповненням замкнутого безлічі j (F) і, стало бути, відкрито.
Теоре...
