з дійсними коефіцієнтами n, p, q. Тут можуть зустрітися такі випадки:
а) всі три корені рівняння дійсні і різні між собою;
б) всі три корені рівняння дійсні, причому два з них збігаються, а третій різниться від них;
в) всі три корені рівняння збігаються (і дійсні);
г) один корінь рівняння дійсний, а два інших комплексно сполучені.
Інших випадків бути не може.
Щоб відрізнити ці випадки один від одного, знову утворимо дискримінант трьох коренів x 1 , x < span align = "justify"> 2 , x 3 нашого рівняння, тобто вираз
= (x1-x2) 2 (x1-x3) 2 (x2-x3) 2. ()
У силу формул Вієта для кубічного рівняння (u1 + u2 + u3 =-p, u1u2 + u1u3 + u2u3 = q, u1u2u3 =-r) маємо:
В
і тому, згідно з формулою (7),
=-4n3q + n2p2 +18 npq-4p3-27q2.
Ясно, що якщо які-небудь два кореня рівняння збігаються, то у виразі () одна дужка перетворюється на нуль, а тоді й дискримінант дорівнює нулю. Якщо ж всі корені попарно різні (тобто серед них немає жодної пари співпадаючих), то всі дужки у виразі () відмінні від нуля, а тому і дискримінант відмінний від нуля. Отже, для того щоб серед коренів рівняння
x3 + nx2 + px + q = 0
було хоча б два співпадаючих, необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова = 0.
Нехай тепер всі корені кубічного рівняння дійсні і різні. Тоді T = (x1-x2) (x1-x3) (x2-x3) є відмінним від нуля дійсним числом, а значить, = (x1-x2) 2 (x1-x3) 2 (x2-x3) 2 - позитивне число .
Нарешті, нехай корінь x1 - дійсний, а коріння x2 =, і x3 = комплексно сполучені. Тоді вираз T = (x1-x2) (x1-x3) (x2-x3) приймає вигляд
T =
Тому
= Т2 = -4 <0.
Отже, ми довели наступне твердження.
Нехай
x3 + nx2 + px + q = 0
кубічне рівняння з дійсними коефіцієнтами і
=-4n3q + n2p2 +18 npq-4p3-27q2.
дискримінант цього рівняння. Тоді:
а) якщо> 0, то всі три корені x1, x2, x3 дійсні і різні;
б) якщо = 0, то серед коренів рівняння є принаймні два співпадаючих;
в) якщо <0, то один корінь рівняння дійсний, а два інші комплексно сполучені.
Проведене дослідження не повно. Ми не навчилися ще відрізняти випадок, коли два кореня рівняння збігаються, а третій різниться від них, від випадку, коли рівні один одному всі три кореня. Тут вже дискримінант відмовляється дати відповідь і треба шукати інший симметрический многочлен. Найпростіше взяти в ц...
