сти, що послідовність сходиться і має межу, то послідовність середніх арифметичних значень елементів послідовності сходиться до того ж самого межі.
Рішення . Справді, якщо покласти, а =n, то =. Так як=існує, то за теоремою Штольца
==.
Відповідь: сходиться і має межу .
Приклад 30. Довести, що послідовність сходиться і має межу, то послідовність середніх арифметичних значень елементів послідовності сходиться до того ж самого межі.
Рішення. Розглянемо послідовність, де
=
і k - ціле позитивне число. Позначимо, через, а через.
Тоді послідовність набуває вигляду. Досліджуємо збіжність послідовності. Маємо
==
Поділивши чисельник і знаменник останнього виразу на, отримаємо
=,
де в знаменнику в квадратних дужках опущено вираз, межа якого при дорівнює. З останньої формули знаходимо
=.
Відповідь: =.
Приклад 31. Довести, що послідовність сходиться і має межу, то послідовність середніх арифметичних значень елементів послідовності сходиться до того ж самого межі.
Рішення. Розглянемо послідовність,> 1. Вважаючи=і n =і досліджуючи послідовність, знаходимо
=== +?.
Тому, в силу зауваження до теореми Штольца, маємо
=+?.
Відповідь: =+?.
Приклад 32. Обчислити межа послідовності, де k N .
Рішення.
=.
Використовуючи теорему Штольца, маємо:
тоді матимемо
=.
Але
так що
Підставивши отримані дані, маємо:
=.
Відповідь: .
Висновок
У курсовій роботі дано загальні відомості про послідовність, визначення, види, основні визначення межі числової послідовності, основні поняття границі послідовності, відображені основні властивості меж послідовності, практичне застосування цих властивостей, і показано, що межа послідовності, а так само основні поняття, пов'язані з ним мають достатньо широке практичне додаток в економіці, фізиці і геометрії. Наприклад, процес радіоактивного розпаду відображає встановлювали послідовність. Приведено доказ теореми Штольца для межі числової послідовності, показані практичні додатки даної теореми. Розглянуто ряд прикладів на доказ збіжності послідовності із застосуванням теореми з докладним коментарем і вказівкою для кожного етапу рішення. Крім того, в роботі представлено доказ теореми Штольца для довільних функцій, наведені приклади, що є узагальненням практичного застосування даної теореми. Таким чином, дана курсова робота може бути використана теоретичним і практичним матеріалом вчителями математики в школі і студентами першого курсу математичного факультету при самостійному вивченні теми: «Межа послідовності».
З вище сказаного можна зробити висновок, що мета курсової роботи реалізована, поставлені завдання виконані.
Дослідження даної роботи сприяло придбання таких навичок як:
a) вмінню працювати з основними поняттями теми,
b) вмінню систематизувати матеріал,) вмінню аналізувати,)...
