br />
Кожна наступна функція може бути отримана з попередньої yn +1 (x) з yn (x), yn (x) з yn - 1 (x) і так далі:
(2.2.6.18)
поліном Ерміта n-го ступеня (2.2.5.28).
У кінцевому підсумку все хвильові функції можна знайти, взявши в якості вихідної функції y0 (x). Постійна Nn в знаходиться з умови нормування (2.2.5.30) (дивися (2.2.5.32) і обчислення в зауваженні наступному за цією формулою).
Формула для поліномів Ерміта Hn (x)
(2.2.6.19)
Для n=0 і n=1 звідси випливає:
(2.2.6.20)
(2.2.6.21)
Узагальнюючи ці окремі випадки, можна записати для будь-якого n:
(2.2.6.22)
У квадратних дужках стоїть поліном Ерміта ступеня n Hn (x). Цю формулу можна довести по індукції. Для випадку n=0, 1, 2 вона перевірена, Якщо ж вона вірна для будь-якого цілого n, то повинна бути справедливою і для n + 1. Справді, так воно і є
(2.2.6.21)
Для кожної функції yn (x) постійний множник Nn знаходиться з умови нормування (2.2.5.30) і дорівнює
. (2.2.6.22)
2.3 Потенційний бар'єр
Малюнок 7 - Потенційний бар'єр
Математичне формулювання завдання Одномірне рівняння Шредінгера в даному випадку має вигляд
(2.3.1)
Потенційна енергія задається наступною функцією:
(2.3.2)
Хвильова функція повинна задовольняти стандартних умов - бути кінцевою, однозначною і безперервної разом зі своєю першою похідною. При підстановці U (x) в (1) останнє розпадається на 3 рівняння: в інтервалах (-?, 0) (на рис. Позначений?), [0, L] (позначений,) і (L, +?) (? ):
?
, (2.3.3)
?
Як було сказано вище, хвильова функція повинна бути безперервною разом зі своєю першою похідною, тому граничні умови записуються наступним чином:
(2.3.4)
Нарешті, слід врахувати, що можливі два випадки:
). Е> U0 і 2) E < U0, що істотно відрізняються один від одного. При E> U0 реалізуються стану, коли частка може бути виявлена ??в будь-якій точці осі Ox - це ситуація розсіювання частинок на заданому потенціалі. У другому випадку виявляється проходження частинки через потенційний бар'єр - «тунельний ефект» - явище парадоксальне з точки зору класичної механіки. Як приклад розглянемо рішення рівняння, коли E < U0, використовуючи результати, отримані при вирішенні задачі про потенційну ями кінцевої глибини.
Введемо позначення
(2.3.5)
Зауважимо, що n2? 0, а k2? 0. Рішення рівнянь (2.33) при цьому можна записати одразу, використовуючи результати, отримані для прямокутної потенційної ями кінцевої глибини:
(2.3.6)
Далі слід традиційне обговорення отриманого результату, що повторює класиків.
ВИСНОВОК
Одвічною проблемою вивчення основ теоретичної фізики на фізико-математичних факультетах у педагогічних вузах була і залишається недостатня математична підготовка студентів. При всьому старанні і жертовності викладачам математичних дисциплін не вдається підготувати учнів до безболісного сприйняття матеріалу цього розділу фізики. Пр...
